研究经典，推陈出新

邓小卿

【内容摘要】全国各地的中考几何中，大部分命题都有经典的来源，由此可见，几何命题一直是在经典的基础上进行一定的推陈出新，所以，笔者以一些较为经典的几何命题与近年中考中出现的典型性问题为例，解析其命题思路，并总结出几种几何命题的改造方法。

【关键词】基本图形 传承经典，推陈出新 思路

我国中学现行的几何教材基本沿用了欧几里得《几何原体》的逻辑体系，因为它对于学生思维逻辑能力的发展，以及在学生数学素养方面的培养具有一定的优势。欧氏几何在学校门类众多的体系中属于较为古老的分支之一，拥有丰富的理论结论及理论经验，较为系统化的为后人的学习提供了思路，中考的命题中，多源于此类经典，因此，如何更好的在经典基础上进行推陈出新，已经成为了教学人亟待解决的问题之一。命题的思路很多，可以对经典题型进行分析，交换原题中的条件和结论即通常的“互换因果”或增改条件或变化点线或引申结论等等，但笔者以为万变不离其宗，无论对题型怎样改编，其本质其核心都离不开基本图形。

一、基本图形的概念

基本图形指的是能够反映出一个或几个定理的几何图形，或指我们使用频率较高的可以反映出图形基本规律的几何图形。一般的，我们把它们分为两类，其中，第一类指的是几何图形中的线段、角、相交线、平行线、垂线、三角形、四边形 、圆等;第二类是指在教材相应的例题、习题中发现的具有典型代表性的图形。其中第一类可以说是第二类基本图形的基础，同时第二类基本图形通常又是由几个第一类基本图形组合形成的。

二、命制几何题的依据

从经典的基本图形出发而命制作的新题型能培养学生的直觉思维，其理论依据（1）最近发展区理论以及建构主义是命制新题型主要的基础理论。通过建构基本知识的基本图形和典型的基本图形，便于学生在自己熟悉的知识的基础上逐步地建构知识，通过分析法和综合法形成解决几何问题的能力，进而培养学生的直觉思维能力。（2）图式理论：巴特利特（德国心理学家）认为，图式不仅仅是个体已经拥有的知识构成，同时也是人的心理及思维过程中经过学习实践形成的属于自身的知识体系，是个人对个体事物认知的重要基础之一。

三、例谈如何从基本图形出发命制综合性几何题

下面的是很经典的相似三角形的基本图形（图1）：由∠ABD=∠C

可得 △ABD∽△ACB，从而可得AB2=AD·AC

（一）综合图形中有直接的基本图形

例1：如图2，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，ED=4，AE=2，（1）求AB的长;（2）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由。

分析： （1）通过观察发现，本图形中有一相似的基本图形（图3）

根据题目中所给出的条件AB=AC，

可得∠ABC=∠ACB，由同弧所对的圆周角相等，得到∠ACB=∠D

∴∠ABC=∠D，又∠BAE=∠DAB，

∴△ABE∽△ADB，

∴AB2=AE·AD=12，

AB=23

（2）略

（二）综合图形中有隐含的基本图形

有些几何图题所对应的几何图形中，图形不够完善，要添加辅助线就能够发现对应的基本图形。

例题2：如图4，△ABC中，∠BCA=90°，D为AB上一点，以CD为直径的圆O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交圆O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF.

（1）判断AB与圆O的位置关系，并说明理由;

（2）若PC=2PF，AF=5，求CP的长。

分析：这是泰州市2016的一道中考题，题目的原形来自于苏科版九年数学（下），第（2）小题，经过统计不难发现，这道题由于学生的思维发散过度导致最终的解题效率较低，解题思路偏离正确的方式，最终的得分率较低，其实根据条件和结论进行综合分析，发现连接FC，构造基本图形（图5）才是解题的关键！

∠CAE=∠ADF，由题（1）可证得∠ADF=∠PCF，

∴∠CAE=∠PCF，又∵∠P=∠P

∴△PCF∽△PAC，

∴PC2=PF·PA，设PF=x，则PC=2x，

∴（2x）2=x·（x+5），

解得x=53，

∴CP的长为103

命题的思路很多，但无论多复杂的几何图形都是由基本图形组成的，所以我们命题时，首先要注重的是基本图形与几何知识之间的双向关联作用，所以建立起图形与几何理论之间的相互关联是学生解决问题的基础条件，如果学生缺少这部分的关联能力，其几何思维能力就缺少了基本的载体，基于此，教师要在课程中加入这部分的教学，帮助学生进行图形与理论知识的关联，帮助学生形成良好的几何思维。

我们在平时教学时要积极引导学生去进行理论概念与图形之间的聯想，帮助学生形成即能由图形转换为概念，也能由概念联想到图形的思维，确保直观与抽象之间的有机转换，最终达到学生几何思维能力的有效提升。针对较为简单的为题，学生可以尝试根据题目给出的条件直接绘制图形，但是当问题较为困难的时候，要引导学生首先根据题目结合已给出的条件对图形进行分析，对条件进行概括和提炼，要从图形中发现基本图形;若有困难，可以先试着去找找是否存在某个基本图形的部分，再由已知条件或结论入手，去思考如何利用添加辅助线，来构造出一些基本的图形，如果图形复杂或者无法针对图形的具体部分进行思考，也可以引导学生将图形中对问题解决有益处的条件进行提取和剥离，再重新画出新的图形，从而更方便进行分析。再者，我们也要特别重视将基本图形分析与数学思想方法的相融合，在基本数学思想方法指导下去进行问题的分析。如无处不在的数形结合思想，转化思想，分类讨论思想，数学建模思想等等。重中之重，是借助基本图形，帮助学生在最近发展区产生解题思路。解决一个问题遇到困难，可考虑将它向其它问题转化，但转化前、后都应考虑基本图形，因为一道综合性的几何题常常都是由经典的基本图形转化而来的，传承经典，推陈出新是命题的常用方法。

（作者单位：江苏省泰州市第二中学附属初中）