比较：让数学学习更简单

张卫星

导 读：

在小学数学教学中适当地、巧妙地运用比较策略，可以更鲜明地呈现数学知识的本质属性，让数学学习更直观、更简单，从而让学生感觉数学不难学。在“乘、除法的简便计算”网课中作者精心设计了5个比较场景，分别是在梳理中比较、在拆分中比较、在计算中比较、在数形中比较、在列举中比较。为什么要设计这么多比较呢？有何用意？请看下文解读。

比较是一种常见的数学思想方法，也是学习数学的有效方式。在小学数学教学中适当地、巧妙地运用比较策略，可以更鲜明地呈现数学知识的本质属性，让数学学习更直观、更简单。受2020年新冠肺炎疫情影响，线上教学已成为一种常态。在短短20分钟左右的网课内，缺少交流和讨论，如何让网课教学功能最大化呢？笔者观看周鲤玥老师执教的人教版四年级下册“乘、除法的简便计算”一课时，眼睛为之一亮，这不正是让网课教学功能最大化的重要举措吗？这不正是小学数学深度课堂的典型课例吗？笔者写下这节网课中的5个比较场景，与大家共享。

场景一 在梳理中比较

“乘、除法的简便计算”既是新课，又是前面知识的拓展。为了让学生能够顺利地迁移知识，周老师设计了一个梳理中比较的场景（如图1）。

教师在这个场景中安排了3次比较。一是加法交换律、减法运算性质1和乘法交换律的比较，它们都具有交换两个数（加数、减数、因数）的共同特征，便于学生理解和记忆。二是加法结合律、减法运算性质2和乘法结合律的比较，它们都具有运算符号相同（连加、连减、连乘）的共同特征，特别强调加法结合律和乘法结合律数字的位置和运算符号都不变，只是通过括号改变了运算顺序，还要提醒学生改变减法运算性质2的括号内的运算符号。既让学生明白加法结合律和乘法结合律的本质特征，又让学生明白减法运算性质2的独特之处。三是乘法结合律和乘法分配律的比较，让学生明白乘法结合律全部都是用乘号，乘法分配律不是乘加就是乘减，从而让学生记住它们之间的本质区别。

场景二 在拆分中比较

教材中的例1力图通过解决问题让学生感受乘法结合律与乘法分配律的实际意义，懂得把一个数拆分的算理和算法，从而让学生学会根据数据特点灵活拆分，选择合理的简便算法（如图2）。

在这个场景中安排了4次比较。一是数学信息的比较，前面2条信息直观可见，但第3条信息“一筒为一打装”是隐含的。通过提炼第3条信息，既可以把前面2条信息融为一体，顺利解决问题，又可以让学生学会审题，学会捕捉隐含的数学信息。二是乘法竖式与乘法结合律的比较，让学生明白乘法竖式任何时候都可运用，但不简便，而通过拆分数据（看到25想到4，把12拆分成3×4）再运用乘法结合律，却非常简便，从而让学生认识到要根据数据特点灵活拆分。三是乘法竖式和乘法分配律的比较，让学生明白乘法竖式实质上也是一种乘法分配律（把25分成20+5），只不过它不考虑数据特点，而乘法分配律更关注数据特点及其相互之间的联系（把12分成10+2），更适合简便计算。四是乘法结合律与乘法分配律的比较，让学生明白采用乘法结合律更简便，要把一个数据拆分成两个数相乘，如果用乘法分配律，就要将一个数据拆分成两个数相加或相减。通过这一场景学习，学生对灵活运用乘法运算定律有了更为深刻的认识。

场景三 在计算中比较

除法运算性质是本课的重要知识点，如何让学生理解除法运算性质的算理和算法是教学关键。教师以例题为载体，通过比较让学生明白除法运算性质的算理和算法（如图3）。

在这个场景中安排了3次比较。一是已知条件的比较，教师有意识地把已知数学信息在网课上呈现出来，通过问题中的“每只”和已知条件中“5副”提醒学生思考“只”和“副”有什么不同。让学生明白一副羽毛球拍包含2只羽毛球拍，从而捕捉到“1副羽毛球拍有2只”这一隐含条件。二是算理和算法的比较，左边的算式按运算顺序进行计算，其算理是先求一副羽毛球拍的价格，再算一只羽毛球拍的价格;右边的算式是先算5副羽毛球拍的总只数，再算一只羽毛球拍的价格。这样通过算用结合的比较，学生既明白了算理，又学会了算法。两种算法、算理不同，但结果相同，右边的算法更简便，因为两个除数相乘正好等于10，从而得出除法运算性质的初步模型。三是除法意义的比较，以长方形图形分割为载体，让学生把长方形先平均分成5份，再平均分成2份，其结果和直接平均分成10份是一样的。这样借助数形结合，学生再次完善刚刚建构的除法运算性质的模型。通过这样3次比较，学生对“330÷5÷2=330÷（5×2）”这一等式就完全理解了，初步建成除法运算性质的模型。

场景四 在数形中比较

通过上面场景三的比较，学生建立了除法运算性质的模型，但仅凭一个例子建立的模型可信度还不够高。为此，教师在这个场景中继续选用不同的例子来加以验证（如图4）。

在这一场景中安排了3次比较。一是被除数64、32、16和a的比较，让学生明白不管被除数怎么变，只要两个除数不变，两种算法（等式两边）的结果总是相等，即“a÷4÷2=a÷（4×2）”。二是除法运算意义的再次比较，以一个圆形图片为载体，先平均分成4份，再平均分成2份，结果跟直接平均分成8份是一样的。在此基础上，得出除法运算性质的第一个模型“a÷b÷c=a÷（b×c）（b、c≠0）”。三是两种除法意义数与形的比较，通过两个圆形图片的分割比较，发现先平均分成4份、再平均分成2份，和先平均分成2份、再平均分成4份结果一样——平均分成8份，让学生感受到两次分法的结果是相等的，从而顺势提炼出第二个除法运算性质的模型“a÷b÷c=a÷c÷b（b、c≠0）”。

场景五 在列举中比较

在学生经历除法运算性质模型的建构之后，教师又引领学生厘清除法运算性质和乘法结合律之间的区别，其目的是厘清运算符号变与不变的规律（如图5）。

在这一场景中安排了2次比较。一是乘法结合律和除法运算性质的比较，结合两种运算定律公式，借助课件的动态演示，让学生明白：乘法结合律加括号前后，括号内的运算符号始终不变，而除法运算性质加括号前后，括号内的运算符号要变。在此基础上，得出“乘号后面添括号，括号里面不变号;除号后面添括号，括号里面要变号”这一文字模型。二是用两个具体例子来比较说明刚才的文字模型，这两个例子脱离了既定的运算模型，借助课件的动态演示，让学生再次明白刚才的两个模型具有普适性，在具体运用运算定律时，只要根据运算符号，就可以确定运算符号是否要变。

总之，比较让数学学习更简单。教师在一节课内连续设计5个比较场景，每个场景中又安排几次比较，是比较思想在计算教学中的典型运用。通过这一系列的比较，学生对如何根据乘法运算定律进行合理拆分印象深刻，对除法运算性质两种模型的算理和算法理解到位，对乘、除法中运算符号的变与不变规律有了清晰的认识。因此，教師要善于设计一些学生能够理解的比较学习场景，让学生感受数学的简练，让数学核心素养悄然落地。线上教学如此，线下教学更应如此。

（作者单位：浙江省仙居县田市镇中心小学）