包含伪Smarandache函数与广义欧拉函数的方程的解

梁晓艳，高 丽，高 倩

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

1 相关引理

引理1[5]对任意素数p≥3,Z(p)=p-1。

引理2[5]对任意素数p≥3及k∈N,Z(pk)=pk-1。当p=2时，有Z(2k)=2k+1-1。

引理3[5]Z(n)是不可加的，即Z(m+n)不恒等于Z(m)+Z(n)；Z(n)是不可乘的，即Z(mn)不恒等于Z(m)Z(n)。

引理4[6]欧拉函数是积性函数，即对于任意互素的正整数m和n，有φ(mn)=φ(m)φ(n)。

引理7[7]对于素数p与k≥1，有

φ(pk)=pk-pk-1。

2 定理及证明

定理设Z(n)为伪Smarandache函数，φ2(n)为广义欧拉函数，对于正整数n，方程Z(n2)=φ2(n2)无正整数解。

证明：

情况1：当n为奇数时，又分为以下几种情况；

A：当n=1时，Z(12)=1≠φ2(12)=0，所以n=1不是方程的解。

B：当n=p时，p为素数，且p≥3，则

令Z(n2)=φ2(n2)，

C：当n=pk时，其中p为素数，且p≥3,k>1。

则Z(p2k)=p2k-1，φ2(p2k)=

令Z(n2)=φ2(n2)，

化解得p2k+p2k-1=2，因为p≥3,k>1，所以p2k+p2k-1=2无解，即n=pk不是方程的解。

令Z(n2)=φ2(n2)，

根据Z(n)的定义可得

(p2-1)…(ps-1)，

整理得

情况2：当n为偶数时，又分为以下几种情况：

A：当n=2k时，

a：若k=1时，n=2，Z(4)=7≠φ2(22)=1，所以n=2不是方程的解。

b：若k>1时，Z(n2)=Z(22k)=22k+1-1,

因为不存在k使得Z(n2)=φ2(n2)，所以n=2k不是方程的解。

B：当n=2kpl时,其中k>0,p为素数,l≥1，

令Z(n2)=φ2(n2)。由Z(n)的定义可得

(2k,q)=1，则

令Z(n2)=φ2(n2)，由Z(n)的定义可得

22kq2|22k-3φ(q2)[22k-2φ(q2)+1]，

因为(2k,q)=1，所以(22k,q2)=1，22k不能整除22k-3φ(q2)，q2不能整除22k-2φ(q2)+1，所以

综上所述，方程Z(n2)=φ2(n2)无正整数解。