双参数n阶α次积分C半群的扰动定理

周裕然，赵华新，周 阳

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

算子半群的扰动理论是算子半群的重要内容之一，许多学者对此作了大量的研究工作[1-7]。文献[8]中定理1给出了算子A+B生成双参数半群{T(s,t)}s,t≥0的证明过程，其中设{T(s,t)}s,t≥0是Banach空间X上被算子A生成的双参数C半群，B为有界线性算子。本文在此基础上，改变定理1的条件，即将双参数C半群换为双参数n阶α次积分C半群，得到新的扰动定理，并且推广了相关结果。

1 预备知识

在本文中，X为无限维的复Banach空间，B(X)是X上有界线性算子全体所成的Banach代数；D(A)为线性算子A的定义域，设n∈N，α≥0。

T=0当且仅当存在n≥0，使JnT(s)=0，s≥0。

2 基本概念和引理

定义1[5]设n∈N，α≥0，C∈B(X)是单射，{T(s,t)}s,t≥0⊂B(X)强连续，若存在算子A=(A1,A2)使

(2)CT(s,t)=T(0,t)T(s,0)；

(3)∀x∈D(A),s,t≥0,

引理1[5](Hill-Yosida)设A=(A1,A2)为双参数n阶α次积分C半群{T(s,t)}s,t≥0的无穷小生成元，当且仅当：

引理2[5]设{T(s,t)}s,t≥0是双参数n阶α次积分C半群，则存在M≥0,ω≥0使得

||T(s,t)||≤||C-1||M1eω1sM2eω2t≤

||C-1||Meω1s+ω2t，

3 主要结论

||S(s,0)||≤M1e(ω1+M1‖B1‖)s和

||S(0,t)||≤M1e(ω1+M1‖B1‖)t，

M1,M2≥1，ω1,ω2∈R。

因此，算子Ai+Bi(i=1，2)是闭稠定算子，

ρ(Ai+Bi)⊃(ω1+M1||B1||,+∞)并且λ>ωiMi||Bi||时，由拉普拉斯变换

利用SAS 9.0软件对试验结果进行多因素方差分析（ANOVA）、最小二乘法（LSD）进行各水平之间的多重比较以及二次响应面回归分析。

可知R(λ,Ai+Bi)(i=1,2)是有界线性算子，又因为

||CR(λ,(A1+B1,A2+B2))x||=

令S(s,t)=C-1SC(s,0)S(0,t)，∀s,t≥0，

则由引理1得算子A+B生成双参数n阶α次积分C半群{S(s,t)}s,t≥0。

VT(s,t)=

(1)

证明令V0(s,t)=T(s,t)，定义

有(s,t)→V(s,t)x连续。

下面利用数学归纳法证明。

||Vn(s,t)||≤

(2)

当n=0，显然||V0(s,t)||≤||C-1||Meω1s+w2t成立：

假设取n时有

当取n+1时，

||Vn+1(s,t)x||=

||C-1||2Mn+2||B||n+1eω1s+w2t||x||·

所以对于∀x>0有

(3)

由(2)式得(3)式在任意有界区间上相当于一致算子拓扑是一致连续的，所以对于∀x≥X，都有(3)式成立。

下面证明唯一性：设对于∀s,t≥0,当x∈[0,+∞),(s,t)→V(s,t)x是连续的，且有

则||V(s,t)x-U(s,t)x||≤

||V(u,v)x-U(u,v)x||dudv。

又由||V(s,t)x-U(s,t)x||=0，所以，对于∀s,t≥0,V(s,t)x=U(s,t)x。

||S(s,t)x-S(s,t)x||≤

证明由定理1和推论1得

||S(s,t)x-S(s,t)x||≤

||S(u,v)||||x||dudv≤

Me(ω1+M‖B‖)u+(ω2+M‖B‖)v||x||dudv=