2018年一道解析几何考研题的多解探究

王成强

（成都师范学院数学学院，四川 成都 611130）

中国硕士研究生入学统一考试的数学试题（简称考研数学）主要涉及“微积分”“线性代数”“解析几何”“概率统计”等知识模块[1]。 这些知识模块彼此相关又各自具有鲜明的特色。 解析几何知识模块与微积分知识模块、线性代数知识模块紧密相关。考研数学中的解析几何知识考点的分数值占比很低，但因其与其他知识的紧密相关性，解析几何考研题具有特殊的研究价值。本文的研究对象是2018年考研数学(一) 第一题第2小题，其内容完整表述如下。

在问题（*）中，“相切”即是（切）平面与曲面 只交于一点[2-4]。 问题（*）具有一定的难度，它虽有教材背景，但其考查视角新颖，让人较难在短时间内探索出清晰的解题思路。 问题（*）的知识交汇性极强，可从几何、分析、线性代数等不同方向进行探索并获得解答。 鉴于以上两点，问题（*）的研究结论对进一步理解微积分理论、线性代数及二次曲面理论都有一定的启发性意义，本文旨在对问题（*）进行多解探究。

1.预备知识

3.结束语

本文基于（解析）几何、微积分、线性代数等多种观点给出了2018年中国硕士研究生入学统一考试的数学试题第一题第2小题（问题（*））的5种解法。从解答过程中得到三点启示: 从书本知识中寻找解题思路，如解法2, 在教材中可获知, 曲面的切平面方程为利用题设条件“切平面过点列出另外两个方程，从这三个方程可解出切点的坐标及切平面方程；从所求的对象中寻找解题思路，如解法1，3，4（也见文献[6]），先设出切平面的方程，再利用未利用的题设条件解出切平面中的待定参数；从书本的课后拓展中寻找解题思路，如解法5。