化归思想在三角函数中的应用
2020-07-01谢川张赢
谢 川 张 赢
（重庆市长征学校 重庆 400080）
一、数学思想概述
（一）数学思想的涵义
所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是对数学事实、概念、理论与方法的本质认识，是体现于基础科学中的具有奠基性、总结性的内容。它含有传统数学的精华和现代数学的基本观点，并且将继续发展完善。数学思想是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙，是用之不竭的数学发现的源泉。可以说数学的发展史是一部生动的数学思想的发展史，它深刻地告诉我们：数学思想是数学知识的本质，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。
（二）基本数学思想及分类
在数学思想中，有一类思想是体现或应该体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想则称之为基本数学思想。基本数学思想包括：符号与变元表示的思想、集合思想、对应思想、公理化与结构思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、对立统一的思想、整体思想、函数与方程思想、极限思想等。基本数学思想有两大“基石”，即符号与变元表示的思想和集合思想，又有两大“支柱”，即对应思想和公理化与结构思想。下面我们就将结合各类题型分析研究三角函数中常见的基本数学思想。
二、三角函数中常见的基本数学思想及题型分析
（一）转化与化归思想
数学解题以转化为手段，以化归为目的，所以“转化与化归思想”是解决数学问题的根本思想。同时，转化与化归思想方法是高中数学核心思想方法之一。当我们解决数学问题时，它无处不在。而“问题是数学的心脏”，“解题是数学活动的基本形式，解题是数学活动的主要内容”那么如何解题就非常重要了。世界著名数学家C.A.雅洁卡娅在一次演讲中提到：“解题就是把要接的题转化为已经接过的题”，也就是说解题的过程即为“转化与化归”的过程。解题的基本模式：由复杂到简单，由陌生到熟悉，由抽象到直观，由特殊到一般。“转化与化归思想”没有一个统一和固定的模式，其过程还有“等价”和“不等价”之分，就使其具有灵活性和多样性，并且我们在解决几乎所有数学问题中都有应用它，故它又具有广泛性。通过新问题的解决，达到解决原问题的目的，这种方法在三角函数的解题中也是常见的。
（二）转化与化归思想解题程序及基本原则
转化与化归思想解题的基本程序为：把问题A通过一定手段进行转化、归结为问题B，而问题B是相对容易解决的问题或已知固定的解题思维的问题，且通过问题B的解决，搭建桥梁，从而使得问题A得以解决。
转化与化归思想的基本原则：熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、正难则反原则。
（三）转化与化归思想在三角函数中的应用
三角函数中求非特殊角三角函数值问题一直以来是高考中的常考点之一，这类问题将特殊角三角函数与三角函数积化和差公式整合在一起，形成了众多值求值的三角函数问题。遇到这样的题型，我们常使用“转化与化归思想”将问题熟悉化、简单化，从而将其解决。在解三角形中，我们也常遇到“边角”混合的题目，这时我们就需要使用“正余弦定理”将边角统一化。下面我们将从以下两个方面及相关题型探讨转换与化归思想在高中三角函数中的应用。
◆建立化归桥梁，将已知量与未知量相结合。建立化归桥梁就是要在问题的接入点之间建立关系桥梁，创造条件达到化归的目的。
【例1】求sin15°cos75°+sin75°cos15°的值。
分析题中给出的15°和75°都不是特殊角，故不能直接计算。但不难发现题中所给的两个角为互补角，故可通过三角恒等转化为同角。
解法一：sin15°cos75°+sin75°cos15°
=sin15°cos(90°-15°)+sin(90°-15°)cos15°
=sin215°+cos215°
=1。
评析本题将非特殊角的三角函数问题转化为特殊角的三角函数值进行计算，满足了“转化与化归思想”的熟悉性原则及简单性原则。
小结：通过建立化归桥梁时，突破口在于已知量和未知量的联系，这个联系往往是一个过渡元素，主要表现为一个字母、一个代数式、一个定理等，找到这个联系后问题也就迎刃而解。◆转化思维角度，将已知量与未知量相结合。有些问题按常规思维难以解决时，我们常考虑从另一个角度来研究。思维角度转化主要包括：代数到三角、几何；数到形；正化反；特殊到一般；抽象到具体等。
通过以上例子，我们知道化归思想在三角函数中有着举足轻重的作用，对我们解决问题有很大的帮助。但数学思想的形成需要长期性的渗透与训练，这就使得我们教师必须在教学中作更深的探讨和研究。如果将数学教学仅仅看成是一般数学知识的传授（照本宣科的传授式教学），那么即使教授再多的公式和定理，可能仍然难免沦为一堆僵死的教条，难以发挥它们的作用；而掌握了数学的思想方法和精神实质，就可以由不多的公式演绎出千变万化的生动结论，显现出无穷无尽的威力。这也正是我们新课程标准对各位教师和学生提出的新要求。
