质点沿半球面下滑问题研究

李开玮

(广东理工学院工业自动化系 广东 肇庆 526100)

在文献[1]中，作者探讨了斜面不固定时，滑块的运动规律，在斜面问题中，斜面的倾角始终不变，本文将研究质点沿半球面下滑的问题.

1 问题来源

如图1所示，质量为M，半径为R的光滑半球固定在水平面上，一质点m由球面顶点从静止开始下滑，求质点与球面分离时的位置、速度．

图1 问题示意图

分析：如图2所示，假设质点速度为v，质点与球心连线与竖直方向夹角为θ，球面对质点支持力为N.

图2 质点受力分析

对质点根据受力分析有

(1)

由式(1)得

(2)

当质点与球面分离时N=0，这时有

(3)

联立式(2)、(3)可得，质点与球面分离时

当半球面不固定，水平面光滑时，质点将在什么位置与半球面分离？

2 问题扩展与讨论

如图3所示，当半球面不固定时，质点沿半球面下滑，半球面必然沿水平面向左运动，设质点与球心连线与竖直方向夹角为β，m相对于球面线速度为v1，相对于地面水平速度为v3x，竖直速度为v3y，M相对于地面速度为v2，则根据相对运动关系有

v3x=v1cosβ-v2

(4)

v3y=v1sinβ

(5)

图3 球面不固定时，质点运动示意图

对系统，根据功能原理有

mgR(1-cosβ)=

(6)

由于水平面光滑，根据动量守恒有

mv3x=Mv2

(7)

(8)

(9)

当m与M分离时，m对M压力为零，此时M水平方向不受任何外力，受力平衡，因此这个瞬间，半球面为惯性参考系，此时对m，以半球面为参考系，根据圆周运动规律有

(10)

联立式(8)、(10)可得

cos3β-3(k+1)cosβ+2(k+1)=0

(11)

由式(11)可知β与半球面跟质点的质量之比k有关，当k=1时，式(11)变为

cos3β-6cosβ+4=0

(12)

解式(12)得

3 结束语