相关系数控制的致密油藏裂缝随机表征和生成方法*

1 常用随机表征方法及存在问题

致密油藏天然露头和岩心样品的分析表明其天然裂缝较发育，而且裂缝各参数服从一定的统计学规律。

从地球物理的角度来看，裂缝是地层内聚力丧失的表现，可以看作是地层破裂的结果[9]，换言之，是地层不连续、某些物性参数发生突变的地方。从几何角度来看，二维空间中的裂缝可以简化为具有有限长度的线段。三维空间中的裂缝可以简化为具有有限面积的多边形或椭圆形。

对于二维空间里面的单条裂缝，可以用中心点坐标(xc,yc)、长度(L)、方位角(θ)和开度(w)来表征(图 1)。

图1 单条裂缝的几何参数表征Fig .1 Characterization of geometric parameters of a single fracture

即一条裂缝可以用(xc,yc,θ,L,w)5个参数唯一确定。同时也可以用裂缝的2个端点坐标和开度来表征一条裂缝，即(x1,y1,x2,y2,w)，可见无论何种表征方法，参数的数量都是5。

根据地质统计学，绝大多数储层的裂缝各参数服从的统计学规律如表1[8]所示。

表1 裂缝各参数及其服从的统计分布[8]Table 1 Various parameters of fractures and their statistical distribution[8]

对于一组天然裂缝，传统的裂缝随机表征方法可以表示为如下5组随机参数(axc,bxc)、(ayc,byc)、(μθ,σθ)、(μL,σL)、(μw,σw)。其中，(a,b)为均匀分布的最小值和最大值，(μ,σ)为正态分布、指数分布、对数正态分布的均值和方差，对于长度的(μL,σL)，当分布为均匀分布时，也分别指最小值和最大值。对于具体的一组天然裂缝，其参数为(xc,yc,θ,L，w)。

但是，对于真实的裂缝，各参数之间存在一定的相关性，比如长度和开度，一般来说具有正相关性，即裂缝越长，其开度也越大。传统的裂缝随机表征方法忽略了这种参数之间的相关性。如表 2显示的一组裂缝参数，虽然长度和开度均服从对数正态分布，但是对于编号为1的裂缝，其长度最长，而开度却最小，不太符合实际情况。

因此传统的裂缝随机表征方法存在一定的缺陷，需要进一步完善。

表2 无相关系数控制下随机生成的裂缝参数Table 2 Parameters of the fractures randomly generated without the control of correlation coefficient

2 相关系数控制的裂缝随机表征和生成方法

2.1 相关系数控制的裂缝随机表征方法

在统计学中，相关系数也叫皮尔逊积-矩相关系数，用来度量2个随机变量或2组统计数据之间的相关性，其值在-1和1之间。其定义如下:

(1)

或

(2)

若ρXY=1则随机变量X和Y呈完全正相关，具体表现为X越大则Y越大，X越小则Y越小。若ρXY=-1则随机变量X和Y呈完全负相关，表现为X越大则Y越小，X越小则Y越大。类似的，若r=1则统计数据X和Y呈完全正相关，若r=-1则统计数据X和Y呈完全负相关。

对于裂缝的5个参数，其两两之间的相关系数分别如表 3所示。

表3 裂缝5个参数之间的相关系数Table 3 Correlation coefficients between 5 parameters of fractures

基于相关系数的控制，一组天然裂缝可以用如下参数表征:axc、bxc、ayc、byc、μθ、σθ、μL、σL、μw、σw、ρ(xc，yc)、ρ(xc，θ)、ρ(xc，L)、ρ(xc，w)、ρ(yc，θ)、ρ(yc，L)、ρ(yc，w)、ρ(θ，L)、ρ(θ，w)、ρ(L,w)。

这种表征方法比传统的表征方法多了相关系数的参数，可以反映前面各参数之间的相关性。

2.2 基于统计分布变换的裂缝随机生成方法

由于目前统计得到的裂缝各参数服从的分布只有均匀分布、正态分布、指数分布和对数正态分布4种分布，因此只需研究这4种分布的随机数的生成即可。

在统计学中，关联结构是处理随机变量相关性问题的一种方法。通过关联结构来确定2个随机变量联合分布方法的思想为:将每个边缘分布都转换为平均分布，即由均匀分布的随机数可以通过一定的变换法则得到任意分布的随机数，具体的变换法则如下：

x=F-1(u)～F

(3)

式(3)中：u是服从均匀分布的随机数，F是想要得到的随机数服从的分布函数，则由变换法则x=F-1(u)得到的随机数x服从分布F。因此为了得到服从分布F和G的随机数，只需要生成2组服从均匀分布的随机数u1和u2，再做变换x=F-1(u1)和y=G-1(u2)即可。但是，这样得到的随机数x和y是没有相关系数控制的。为了得到相关系数为ρobj的分别服从分布F和G的随机数，初始生成的服从均匀分布的随机数u1和u2应该满足一定的相关系数ρu。

事实上，要得到相关系数为ρu的随机数并不是一件容易的事情，更多的时候需要借助服从正态分布的随机数来实现。而由正态分布的随机数得到均匀分布随机数的变换法则恰好是变换法则(式(3))的逆变换，即

u=Φ(z)～U

(4)

其中：z是服从标准正态分布的随机数；Φ是标准正态分布的分布函数

(5)

因此基于关联结构的裂缝随机生成方法包含如下3个步骤：①生成相关系数为ρ的正态分布随机数z1和z2。②通过式(4)得到相关系数为ρu的服从均匀分布的随机数u1和u2。③通过式(3)得到相关系数为ρobj的分别服从分布F和G的随机数x和y。

根据关联结构理论中的相关结论[10-11]，当ρobj和ρmin、ρmax之间存在线性关系时，ρ和ρobj之间存在如下关系：

(6)

(7)

式(6)～(7)中：ρmin和ρmax分别为ρobj可能取到的最小值和最大值。本文通过半解析的方法确定了ρmin和ρmax，从而得到了ρ和ρobj的关系。

1) 均匀分布和正态分布。

设服从标准正态分布，记作Z～N(0,1)，则-Z～N(0,1)，且Φ(Z)服从[0,1]之间的均匀分布，记作Φ(Z)～U[0,1]。则有

(8)

(9)

易知

ρ(a+(b-a)Φ(Z),μ-σZ)=

(10)

ρ(a+(b-a)Φ(Z),μ+σZ)=

(11)

所以只需要求ρ(Φ(Z),Z)的值。直接用解析的方法求ρ(Φ(Z),Z)比较困难，分别生成了200组服从标准正态分布的随机数，每一组有2 000个值，可以求得200个ρ(Φ(Z),Z)，如图2所示，其均值为0.977。

因此对于任意的均匀分布和正态分布，有

(12)

2) 均匀分布和均匀分布。

易知对于任意均匀分布有ρmin=-1，ρmax=1，所以对于任意均匀分布

(13)

3) 均匀分布和指数分布。

设u服从标准均匀分布，即u～U[0,1]，则1-u～U[0,1]，X=F-1(u)服从指数分布，其中，F是参数为λ的指数分布的分布函数，其定义为

F(x)=1-e-λx

(14)

图2 随机生成200个ρ(Φ(Z),Z)的统计直方图Fig .2 Statistical histogram of 200 ρ(Φ(Z),Z) randomly generatedF-1(x)=-ln(1-x)

(15)

对于任意的均匀分布随机变量Y=a+(b-a)u～U[a,b]和任意的指数分布随机变量，易知

ρmin=ρ(a+(b-a)u,F-1(1-u))

(16)

ρmax=ρ(a+(b-a)u,F-1(u))

(17)

其中，F0为参数λ=1的指数分布函数，即

F0(x)=1-e-x

(18)

因此对于任意的均匀分布和指数分布，有

(19)

图3 随机生成200个和的统计直方图Fig .3 Statistical histogram of 200 randomly generated

4) 均匀分布和对数正态分布。

设服从标准对数正态分布，记作Z～LN(0,1)，根据标准正态分布的定义有lnZ～N(0,1)，所以-lnZ～N(0,1)，1/Z～LN(0,1)，ΦL(Z)和ΦL(1/Z)均服从[0,1]之间的均匀分布，ΦL为标准对数正态分布的分布函数，其定义为

(20)

(21)

(22)

同样采用数值模拟的方法，分别生成了200组服从标准对数正态分布的随机数，每一组有2 000个值，可以分别求得200个ρ(ΦL(1/Z),Z)和ρ(ΦL(Z),Z)，如图4所示，其均值分别为-0.70和0.70。

(23)

图4 随机生成200个ρ(ΦL(1/Z),Z)和ρ(ΦL(Z),Z)的统计直方图Fig .4 Statistical histogram of 200 ρ(ΦL(1/Z),Z) and ρ(ΦL(Z),Z) randomly generated

5) 正态分布和指数分布。

设Z服从标准正态分布，即Z～N(0,1)，则Φ(Z)～U[0,1]，X=F-1(Φ(Z))服从指数分布，其中，F是参数为λ的指数分布的分布函数，其定义见式(12)。

对于任意的正态分布随机变量X=μ+σZ～N(μ,σ2)和任意的指数分布随机变量，易知

ρmin=ρ(μ+σZ,F-1(Φ(-Z)))=

(24)

ρmax=ρ(μ+σZ,F-1(Φ(Z)))=

(25)

其中，F0的定义见式(18)。

因此对于任意的正态分布和指数分布，有

(26)

6) 正态分布和对数正态分布。

(27)

(28)

图5 随机生成200个和的统计直方图Fig .5 Statistical histogram of 200 randomly generated

(29)

7) 指数分布和对数正态分布。

公式(6)对于指数分布和对数正态分布的情况不再适用，本文采用多项式直接对ρobj和ρ进行拟合，拟合结果如图7a所示，拟合公式为

(30)

8) 对数正态分布和对数正态分布。

公式(7)对于对数正态分布和对数正态分布的情况也不适用，本文采用多项式直接对ρobj和ρ进行

图6 随机生成200个和的统计直方图Fig .6 Statistical histogram of 200 randomly generated

图7 ρobj和ρ的多项式拟合结果Fig .7 Polynomial fitting results for ρobj and ρ

(31)

3 模型验证及算例分析

主要针对前6种情况进行验证。将半解析公式得到的结果和200次随机模拟取平均值得到的结果进行对比，并计算R2，计算得到的结果如图8所示。从图8可以看出，R2均大于0.99，拟合效果较好。

在实际的应用中，通常通过对致密油藏的岩心或天然露头的裂缝进行统计分析，得到各参数的均值方差以及它们之间的相关系数，再用本文建立的半解析方法进行相关系数控制下的裂缝随机生成，代入到致密油藏数值模拟器进行数值模拟计算，进行产量的预测等。

裂缝真实参数的获取是一件较为麻烦的事情，为了对相关系数控制下的裂缝生成结果进行分析，研究不同相关系数对缝网形态的影响规律，本文构建了一个理想的二维模型，假设其裂缝各参数服从的统计分布及其参数如表 4所示，相关系数如表 5所示。

在400 m×200 m的区域，在表5所示的相关系数控制下生成300条裂缝，其各参数之间的相关系数的相对误差如表 7所示。

从表7可以看出，相对误差都控制在了25%以内，对于相关系数绝对值大于0.5的分量，相对误差均控制在了6%以内，6次随机模拟得到的裂缝图像如图9所示。

图8 200次随机模拟取平均值结果和半解析结果的对比Fig .8 Comparison of semi-analytical results and the average of 200 random simulations

表4 理想模型裂缝各参数服从的统计分布及其参数Table 4 Statistical distribution of the fracture parameters of the ideal model

表5 裂缝5个参数之间的相关系数Table 5 Correlation coefficients between 5 parameters of fractures

表6 当时的对数正态分布与其他各分布的ρ和ρobj的关系Table 6 Relationship of ρ and ρobj between the lognormal distribution and others when

表7 按半解析方法得到的50条裂缝各参数之间的相关系数的相对误差Table 7 Relative errors of correlation coefficients between parameters of 50 fractures obtained by semi-analyticalmethod %

如果只按照表所示的参数而忽视了表所示的相关系数的信息，随机生成的裂缝各参数之间的相关系数误差会很大。在无相关系数控制的情况下随机生成了6组天然裂缝，并计算了相关系数的相对误差的平均值，得到的裂缝图像如图 10所示，结果如表 8所示。结果表明，无相关系数控制下得到的相对误差均大于95%，缝网的几何形态也有较大的差异。

如果把裂缝各参数的相关系数改为如表9所示，得到的裂缝图像如图11所示。

从图 9和图 11可以很直观地看出，即使是同一组随机参数，对于不同的相关系数控制，得到的天然裂缝的缝网结构在几何形态上有着很大的差异。裂缝中心点横坐标xc和纵坐标yc的相关性决定了裂缝富集的方向，当xc和yc呈正相关时，裂缝向西南-东北对角线富集(图 11)，当xc和yc呈负相关时，裂缝向西北-东南对角线富集(图 9)。裂缝方位角和中心点横坐标xc的相关性决定了裂缝沿x轴方向的走向趋势线形状，当θ和xc呈正相关时，xc越大，θ越大，裂缝沿x轴方向的走向趋势线呈上凸形状(图 11)，当θ和xc呈负相关时，xc越大，θ越小，裂缝沿x轴方向的走向趋势线呈下凹形状(图 9)。

图9 表5所示的相关系数控制下6次随机模拟生成的300条裂缝Fig .9 Six images of 300 fractures generated with the control of the correlation coefficients shown in Table 5

图10 无相关系数控制下生成的300条裂缝Fig .10 Image of 300 fractures generated without the control of correlation coefficients

表8 无相关系数控制下生成的300条裂缝各参数之间的相关系数的相对误差Table 8 Relative errors of the correlation coefficients between the parameters of 300 fractures generated without the control of correlation coefficients %

表9 裂缝各参数呈正相关的相关系数矩阵Table 9 Correlation coefficient matrix with positive correlation of fracture parameters

图11 表9所示的相关系数控制下生成的300条裂缝Fig .11 Image of 300 fractures generated with the control of the correlation coefficients shown in Table 9

4 结论

本文引入相关系数来定量表征裂缝各参数的相关性，建立了基于相关系数控制的致密油藏裂缝随机表征方法；并且将裂缝参数的每一种随机分布都转化为均匀分布来生成，从而给出了相关系数控制下的裂缝各参数的随机生成方法。本文用半解析的方法给出了目标相关系数和初始相关系数之间的函数关系，为相关系数控制下的裂缝随机生成提供了更加快捷有效的方法。

本文提供的方法可以有效的控制裂缝各参数的相关性，得到的裂缝参数更加符合实际情况，为致密油藏裂缝系统的数值模拟和缝网反演提供了基础。