第一类Hardy型积分不等式的等价性质及其应用

杨必成

(广东第二师范学院 数学系， 广东 广州 510303)

0 引言

(1)

(2)

具有最佳常数因子kp的Hardy-Hilbert型积分不等式:

(3)

在式(3)的条件下，Hardy等[3]在定理350中还考虑了如下非齐次核的情形:设

(4)

1998年,杨必成[4-5]引入独立参数λ>0及Beta函数,推广式(1)为

(5)

(6)

当λ=1、r=q、s=p时,不等式(6)变为式(2);当λ=1、r=p、s=q时，不等式(6)变为如下式(2)的对偶形式:

(7)

2009年,文[7-8]还利用引入独立参数及两对共轭指数的方法,推广式(3)及式(4)为一般-λ齐次核的形式,并建立了两类Hardy型积分不等式. 文[9-10]还给出了多重方面的应用.

2016-2017年,洪勇等[11]建立了一般齐次核离散Hilbert型不等式最佳常数因子的联系参数的等价陈述;洪勇[12]还考虑了一般齐次核Hilbert型积分不等式成立的联系多参数的等价条件；杨必成[13]考虑了逆向Hardy型不等式的类似情形;2019年,杨必成[14-15]给出了积分及半离散Hilbert型不等式最佳常数因子联系参数的若干等价陈述. 类似的结果可参阅文[16-20].

本文引入若干独立参数,应用实分析的思想技巧,建立一个一般非齐次核第一类Hardy型积分不等式，还建立了它的等价式及联系最佳常数因子与多参数的若干等价陈述,并导出齐次核第一类Hardy型的情形. 作为应用,给出其算子表示及若干特殊核的例子.

1 若干引理

又设f(x)、g(y)在R+上为非负可测函数,使

(8)

引理1如下非齐次核第一类Hardy型积分不等式成立:

(9)

证明定义如下权函数:

(10)

固定x,作积分变换u=xy,可求得

(11)

同理,由对称性，可算得

(12)

应用Hölder积分不等式[21]、Fubini定理[22]、式(10)及式(12),有

下证此式取严格不等号. 若取等号,则存在不全为零的常数A和B,使[21]

注1若σ1=σ,则式(8)及不等式(9)变为:若

则有如下简化的第一类Hardy型积分不等式:

(13)

引理2不等式(13)的常数因子k1(σ)是最佳的.

证明任给ε>0,设

若有正常数M(≤k1(σ)),使之取代k1(σ)后,式(13)仍成立,则特别地,有如下不等式：

可求得

还可求得

故M=k1(σ)为式(13)的最佳值. 证毕.

(14)

应用带权的Hölder不等式,还成立如下不等式[21]:

(15)

2 等价形式及若干等价陈述

定理1不等式(9)等价于下列积分不等式:

(16)

(17)

且式(16)与式(17)的常数因子是最佳值的等价条件是式(9)的相同常数因子也是最佳值.

特别地,若σ1=σ,则有具有最佳常数因子的式(13)及如下与之等价的积分不等式:

(18)

(19)

证明若有式(16),则由Hölder积分不等式[21],有

(20)

(21)

若J1=0,则式(16)必然成立;若J1=,则式(16)不可能成立,即有条件J1<. 下设0

即有式(16),且它与式(9)等价.

同理,可证得式(9)与式(17)亦等价. 故式(9),式(16)与式(17)齐等价.

若式(9)的常数因子为最佳值,则由式(19)可导出式(16)的常数因子也为最佳值. 不然,则能导出式(9)的常数因子不为最佳值的矛盾. 同理,用反证法，若式(16)的常数因子为最佳值,则式(9)的常数因子也必为最佳值. 不然,由式(21),则能导出式(16)的常数因子也不为最佳的矛盾. 因而式(16)的常数因子是最佳值等价于式(9)的常数因子也是最佳值. 同理可证式(17)的常数因子是最佳值当且仅当式(9)的常数因子也是最佳值. 故式(16)及式(17)的常数因子是最佳值等价于式(9)的相同常数因子也是最佳值. 证毕.

(22)

(23)

(24)

定理2下列陈述等价:

(iii)σ1=σ;

(ii)⟹(iii). 由(ii),式(15)取等号. 则由引理3, 可得关系式σ1=σ.

故陈述(i)、(ii)、(iii)及(iv)等价. 证毕.

则有下面等价的齐次核第一类Hardy型积分不等式:

(25)

(26)

(27)

且不等式(25)的常数因子是最佳值等价于式(26)及式(27)的常数因子也是最佳值.

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

推论2下列陈述等价:

(III)μ+σ=λ;

3 算子表示及若干特例

定义如下实赋范线性空间:

于是还有

即h1∈Lp,ψ1-p(R+).

定义1定义一个非齐次核第一类Hardy型积分算子T1:Lp,φ(R+)→Lp,ψ1-p(R+)为:对任意f∈Lp,φ(R+),唯一对应h=T1f∈Lp,ψ1-p(R+). 定义T1f与g∈Lq,ψ(R+)的形式内积及算子T1的范数为

即H1∈Lq,φ1-q(R+).

由定理1、定理2,有推论3.

推论3若f(>0)∈Lp,φ(R+),g(>0)∈Lq,ψ(R+),则有如下等价不等式:

(34)

(35)

(36)

还可定义实赋范线性空间：Lp,Φ(R+)、Lq,Ψ(R+)、Lp,Ψ1-p(R+)及Lq,Φ1-q(R+).

即H∈Lq,Φ1-q(R+).

由推论1、推论2,有

推论4若f(>0)∈Lp,Φ(R+),g(>0)∈Lq,Ψ(R+),则有如下等价不等式:

(37)

(38)

(39)

当γ=σ、σ1∈(0,)时，

由推论3，当且仅当σ1=σ时，

由推论4，当且仅当μ+σ=λ时，

当γ=σ、σ1∈(0,)时，

由推论3，当且仅当σ1=σ时，

由推论4，当且仅当μ+σ=λ时，

当γ=σ、σ1∈(-α,)时，

由推论3，当且仅当σ1=σ时，

由推论4，当且仅当μ+σ=λ时，