立足通法 图象护航 技巧加速

王兰灵

摘要 对函数单调性的研究，其核心可以归结为研究导函数的图象. 导函数图象的形状和位置能够非常直观地反映原函数的单调区间. 因此，导函数的图象犹如护航使者，为函数单调性的讨论保驾护航.

关键词 导函数;图象;单调性;分类策略

近几年的全国卷，独立命题的省市卷，都常以导数作为压轴题，学生得分低. 无论是求函数极值、最值、不等式证明还是零点个数问题，最终都离不开讨论含参函数的单调性. 笔者经过研究发现，对函数单调性的研究，其核心都可以归结为研究导函数的图象. 导函数图象的形状和位置能够非常直观地反映原函数的单调區间. 《普通高中数学课程标准（2017年版）》 也指出：直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养. 直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础. 此外，我国著名数学家华罗庚也曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休”. 因此，把导函数的图象作为研究函数单调性的主要工具，既符合课程标准，又传承了数形结合思想. 导函数的图象犹如护航使者，为函数单调性的讨论保驾护航. 含参函数导函数图象的研究，与含参函数单调性的讨论通法相通，但很多题目的数据设置非常有特点，如果我们能优先发现数据的特殊性，便可利用技巧，优化分类，提高解题效率. 下面以二次导函数（或类二次）为例，从易到难举例示范.

类型一、判别式符号确定型（该类型较简单，限于篇幅，略）

类型二、判别式符号不定型

通过以上四种类型的四个例题，我们可以把含参函数单调性的分类讨论策略概括为“立足通法 图象护航 技巧加速”，具体如下：

1. 将导函数尽量分解因式，把它变成整式乘除的形式.若出现二次函数（或类二次函数），则把其写成二次函数的交点式形式，进而根据参数的符号、零点的分布、零点的大小分类讨论.

2. 对于导函数无法分解因式的类型，则观察参数，考虑其是否存在某个区间使得导函数（或导函数的某个因式）的符号是确定的. 若存在，则我们可以利用参数的特殊性优化分类，提高效率;若不存在，则我们采用通法，根据参数的符号分类.

3. 对于以上两种类型，我们都把导函数的图象作为辅助工具，导函数的图象能直观地反映其零点的分布情况，更能自然地引导我们求出零点，且在必要的时候以零点的大小关系继续分类.

参考文献

[1]王守亮.构建二维循环模式 打造高效复习课堂[J].中学数学教学参考.2014年第12期：41-42，47.

[2]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社.

[3]方明生.立足通性通法 寻求解题策略——含参函数单调性分类讨论的标准[J].中学数学研究，2019年第9期：37-39.