加强数学语言教学 提升数学抽象素养——以“函数的单调性”教学为例

舒建明

(浙江省兰溪市第一中学 321100)

在《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出，数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.主要包括：从数量与数量关系，图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律，并用数学语言加以表征.因此，能够读懂数学语言，学会用数学语言简洁、准确地表述数学研究对象，并进行表达和交流，是数学抽象素养提升的重要显性表现之一.

在新老教材的课程编排上，原来在2-2进行授课的内容“充分条件与必要条件”，“全称量词与存在量词”，新教材也将其调整至必修一第一章开始学习.集合与常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，作为高中数学课程的预备知识，这一改变也凸显了教材力求一开始即为学生用数学的语言表征世界打下良好的数学功底.

一、基于数学抽象素养下的数学语言发展的教学案例

数学语言在数学中的基本形式主要有三种，它们分别是图形语言、文字语言、符号语言，下面以《函数的单调性》新授课为例，呈现数学语言渗透下的课堂教学案例.

1.教学目标

(1)用准确的数学语言归纳、抽象概括增函数和减函数的概念，并能正确理解单调性；

(2)利用图象和定义判断函数的单调性，能正确书写单调区间，并能用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性；

(3)培养学生抽象概括能力及数形结合思想方法的运用能力.

2.重难点

重点：(1)函数单调性的概念；(2)判断和证明函数的单调性.

难点：理解函数单调性的概念.

3.教学过程

(1)创设情景

教师：前段时间，二师兄有点任性，身价一路飙升，猪肉价格飞涨.观察右侧猪肉价格走势图，说说该图的图形特点.

设计意图：通过设计贴近生活的问题情景，初步感受两个变量间的相互变化关系.同时也引导学生初步感受图形语言对于描述实际问题的形象直观，以及文字语言的通俗易懂.

(2)形成概念

教师：上面我们是从形的角度直观感受了y随x的变化情况，那我们是否可以从数的角度来研究这种y随x的变化关系？我们从最简单、最熟悉的函数f(x)=x2和f(x)=x图象入手.

教师：如何描述函数f(x)=x2图象在y轴右侧的变化趋势？

【设计意图】通过具体的函数案例，结合图形语言，引导学生尝试用自己的语言即文字语言对函数图象的变化情况作出描述，最后利用符号语言予以简洁准确表征，从而将思维引向深入.

教师：你能仿照这样的描述，用文字语言和符号语言说明函数f(x)=x2在区间(-，0]上是减函数和函数f(x)=x在R上是增函数吗？

【设计意图】学生通过模仿尝试三种语言间的相互转换，进一步深化对单调性的理解和熟悉，从而自然地从具体函数中抽象出一般函数的单调性概念.

(3)应用概念

例1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数.

【设计意图】通过有针对性的训练，帮助学生能读懂图形语言并进行单调性的判断

教师引导，板书展示，规范语言书写.

【设计意图】读懂文字语言，并认识到其本质是研究数学单调性问题，从定义角度利用符号语言准确进行单调性证明，并明确用定义证明单调性的步骤

(4)辨析概念

【设计意图】：通过反比例函数单调性的研究，加深对定义中逻辑用语“任意”的理解，实现对概念的再认知.

二、数学语言对于数学抽象素养提升的意义

1.数学语言有助于数学概念和命题的恰当表征

恩格斯说：“一门学科只有当它用数学表示的时候，才能被最后称为科学.”数学是研究数量关系和空间形式的一门科学.数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型建构，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律.数学语言作为表达科学思想的通用语言，具有准确、严密、简明的特点.

概念抽象一般经历两个层次：第一层次抽象是直观描述，有物理背景，用自然语言表达；第二层次抽象是符号表达，严谨、挑不出毛病.在教学过程中，教师通过情景创设，讲具体背景，引导学生用自己的语言即自然语言初步建构数学问题模型，体会其中的数学思想和方法.自然语言具有通俗易懂的特点，可以实现对数学概念或模型的感性认识.为了更好的表征知识的内在结构特点，使数学的概念和命题更加简洁，我们也可以对问题情景进行符号化表示，即进行第二层次的抽象.在语言的相互转化过程中，我们不仅保证了知识形成的过程性，提高了语言表示的抽象层次，而且也实现了数学概念和命题的准确，恰当表征.

2.数学语言有助于数学抽象过程中思维的深刻性

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.

数学语言是数学思维的载体，数学学习实质上是数学思维活动，在解决实际问题过程中，能否正确的在文字语言、符号语言以及图形语言之间灵活转换表征，是决定学生能否成功分析问题、解决问题的关键，这需要重视对数学语言能力的培养.在平时的教学中，我们应该注意对学生进行语言转换的训练，如数形结合、概念课教学等都是三种语言转换的很好介质.

概念是数学思维的细胞，定理、公式等是数学思维的重要内容，表征是数学学习的中心，当学生在三种语言之间不同的转换表征时，他们发展并加深了对数学概念的理解，数学语言的不断转换，能帮助学生交流他们的思维，并将思维引入深刻.

3.数学语言可以提升学生对问题情景的认知能力

众所周知，浙江高考试题具有简洁、朴实、明了的特点，但其背后却是对学生数学语言阅读、理解、转化能力的高要求.数学语言在问题表达时虽然具有简洁、准确的特点，但是符号较多、形式化程度高，这些都要求学生具有较高的数学语言认知能力.

学生只有将数学语言内化到自己的语言系统中，学生才能认读感知问题情景中的有关数学术语和符号，并能正确依据数学原理分析它们之间的逻辑关系，最终实现对问题的本真理解，理清知识脉络.

前苏联数学教育家斯托利亚尔说：“数学教学也就是数学语言的教学.”在教学中，教师只有不断得创设问题情景，给予学生用数学语言表达问题的机会，提高数学语言的应用能力，确保学生在数学学习过程中“读得懂，说得清，想得通”.