借助画图策略 助力问题解决

张玉翠

（福建省厦门市同安区第二实验小学，福建厦门 361000）

引 言

画图策略就是通过图形把一些抽象的数学问题具体化，帮助学生更好地理解问题，从而达到解决问题的目的。在数学教学中，教师应有意识地引导学生借助画图的方法画出符合题意的示意图、线段图、几何图，让学生更好地理解题意、厘清数量关系，进而有效地提高学生分析和解决问题的能力，使他们享受到数学学习带来的乐趣。

一、借助示意图帮助学生理解题目意思

在解决问题的过程中，一部分学生的学习能力、理解能力较弱，时常遇到困难，而画图恰好可以成为这部分学生解决问题的法宝，以图求解，借助示意图，将题意变得清晰、直观，易于学生理解和接受。因此，画图成了学生成功解决问题的重要工具[1]。

例如，花店新进了一批鲜花：郁金香56 枝，玫瑰花46枝，百合花66 枝。如果6 枝郁金香、5 枝玫瑰花、8 枝百合花扎成一束，这些花最多可以扎几束这样的花束？解答这道题，大部分学生的做法是： 56+46+66=168（枝） 6+5+8=19（枝）168÷19=8（束）……16（枝）。很显然这样的做法是错误的，与题目的意思完全不符，说明学生没有理解题意，而是按照一贯的思维去解题，导致解题思路错误。此时教师可以引导学生根据题目的表述一步一步画出简单的示意图（见图1），在分析示意图的基础上理解题意，寻求正确的解答方法。 56÷6=9（束）……2（枝）46÷5=9（束）……1(枝） 66÷8=8（束）……2（枝）。学生列出算式后，选择最小的数8 束，就是最后的答案。

图1

学生借助示意图整理信息，直观地表示题意，纠正了错误的理解，打破了自身的思维定式。

再如，市第一医院包扎用的三角巾的底和高分别是9 分米和8 分米的直角三角形。现有一块长36 分米、宽32 分米的白布，最多可以做多少块这样的三角巾？

学生解决这类问题的一般做法是用长方形的面积除以三角形的面积（包含除），即36×32÷（8×9÷2）=32（块）。有个别学生能从行列的角度来思考问题，即36÷9=4，32÷8=4，4×4×2=32（块）。这样计算的道理何在？为什么还要乘2？这时教师不需要讲太多，可以引导学生根据算式画一下示意图（见图2）。借助示意图，学生自然理解了36÷9=4 表示每一行可以剪4 个，32÷8=4 表示有这样的4 行，因为是先转化成长方形，所以还要再乘2。接着，教师引导学生优化两种方法，发现第一种方法计算容易出错，第二种方法更简便。

图2

教师借助示意图帮助学生找到了更简单的解题方法。

接着改变数据，如果三角巾的形状变成等腰直角三角形，底和高都是8 分米，这时又能剪几个呢？很多学生认为底变小了，可以剪的数量也就多了，结果一定比32 块还多。这时，教师引导学生画示意图（见图3）。借助示意图，学生发现剩余的部分不够再剪了，所以还是只能做32 块，列式：36÷8=4（个）……4（分米） 32÷8=4（个） 4×4×2=32（块）。一位学生提出了疑问，用第一种方法（包含除）36×32÷（8×8÷2）=36（块）求出的块数为什么不一样呢？此时，教师引导学生观察两幅示意图，通过对比分析，总结得出：如果长方形的长和宽刚好是三角形底和高的倍数，就可以用包含除的方法：如果不是倍数关系的，就得从行和列的角度思考问题。

图3

教师借助示意图，抓住容易混淆的内容进行对比，能够培养学生的分析、辨别能力，有效地防止学生在解题时生搬硬套，从而使其灵活地解决数学问题。

二、借助线段图帮助学生分析数量关系

解决问题的关键在于正确分析题目中的数量关系，但是往往有些数学问题的数量关系不能一眼看出，如果将文字叙述的题目转化为线段图来表示，那么隐蔽的数量关系就会变得明朗。学生通过画图搭桥，借图分析数量关系，厘清思路，能够顺利解决问题[2]。

例如，书架上摆着科技书和故事书，两种书共有78 本，科技书比故事书多12 本。两种书各有多少本？这是典型的和差问题，学生在解题时存在着一定的困难。在教学时，教师可以引导学生先画出线段图，把题目的条件和问题表示出来，接着充分发挥线段图直观明了的优势，引导学生借助线段图分析数量关系。学生画的线段图如图4 所示。

图4

从图4 分析可知：总数78 减去科技书比故事书多的12 本，两种书现在的数量就同样多了。故事书：（78－12）÷2=33（本） 科技书：33+12=45（本）

图5

从图5 分析可知：故事书的数量加上12 本就和科技书一样多，这时总数就变成78+12=90（本）科技书：（78+12）÷2=45（本） 故事书：45－12=33（本）

图6

从图6 分析得出：把科技书比故事书多的12 本分一半给小明，两人的书就变得同样多。科技书：78÷2－6=33（本） 故事书：78÷2+6=45（本）

教师通过直观的线段图把复杂的数量关系形象化、多样化。线段图不同，解题的思路也就不同。教师可在算法多样化的基础上优化三种方法，选出最容易理解的方法，同时引导学生比较三种方法，思考它们有什么相同的地方？学生通过观察比较三个线段图，发现它们都是把数量不相等的两条线段变得相等。最后，教师引导学生将三种不同的解法进行类比、归纳，总结出所有方法的本质。这样，学生借助线段图，厘清和差问题的数量关系，找到解决和差问题的方法，建立起此类问题的数学模型，提高了自身的学习能力[3]。

三、借助几何图帮助学生寻找解题途径

数学中有些问题的综合性较强，复杂而抽象，乍一看题目，感觉很难，不知如何解决问题，其实一画草图题意就清晰了。学生能从图中找到解决问题的突破口与关键点，快速而顺利地攻破难题。

例如，有两个自然数A 和B，如果把A 增加22，B 不变，积就增加132；如果A 不变，B 增加12，积就增加240，那么原来两数的积是多少？

这道题比较抽象，单纯从字面上理解，学生很难正确解答出这道题。教师可以引导学生借助长方形图来解题，先画一个长方形（见图7）A 表示长，B 表示宽，那么AB 的积就是长方形的面积。根据题目表达的意思，当A 增加22 也就是长增加22，B 不变，即宽不变，即画出图8；当A 不变，也就是长不变，B 增加12 即宽增加12，画出图9。

图7

图8

图9

观察图8，根据长方形的面积公式求出长方形的宽也就是B=132÷22=6；观察图9，根据长方形的面积公式求出长方形的长也就是A=240÷12=20；那么，A、B 的积为20×6=120。

学生借助长方形图，找到了解题的关键点。

再如，不计算，你能比较43×52 和42×53，到底谁的积大吗？刚开始看这道题，学生会不知从何下手。其实这道题也可以借助长方形图，把问题转化为长方形的面积问题。根据这两个算式，画出两个长方形，一个长为52，宽为43，另一个长为53，宽为42。根据已有的知识经验告诉我们：周长相等的两个长方形，长与宽的差越少，面积就越大。因为43+52=42+53，52－43=9，53－42=11，所以43×52 的积大。

结 语

总之，借助画图解题是学生打开解决问题大门的一把金钥匙，教师在教学过程中，要善于借助画图策略，帮助学生打开思维的闸门，使画图解题真正走入课堂，深入学生内心。以图促思，画图搭桥，有了画图这一座桥梁，学生分析问题和解决问题的能力将得到提升，从而爱上数学，学好数学。