基于累积前景理论的TOPSIS多属性决策方法∗

刘庆国 刘新学 洪大银

（1.火箭军工程大学 西安 710025）（2.78102部队 成都 610036）

1 引言

多属性决策是现代决策科学的重要组成部分［1］。TOPSIS法及其改进型已经在多属性决策领域得到广泛引用，文献［2～3］分别运用TOPSIS法和DEA-TOPSIS法在优选联合火力打击中方案的优选和打击目标的选择。文献［4］研究了基于加权TOPSISI的弹目匹配问题。累积前景理论（Cumulative Prospect Theory，CPT）是在前景理论（Prospect Theory，PT）基础上提出的一种决策者有限理性条件下的有效决策方法［5］，该方法的思想是基于得失而不是最终结果，价值函数中的自变量是结果相对于参考点的变化量［6］。文献［7］研究了基于PT的编队作战决心方案优选方法。文献［8］研究了基于PT构建了配送方行为决策模型。文献［9］研究了基于CPT论解决了烟草合作方的选择问题。文献［10～11］分别研究了基于PT的不确定TOPSIS法和犹豫模糊集TOPSIS法。本文采用CPT与TOPSIS法进行结合（CPT-TOPSIS法），借助TOPSIS法的决策框架，利用CPT考虑决策者有限理性的因素，有效提高决策精度，相比现有基于PT或者CPT的研究，决策过程更具客观性，实现更加简单。

多属性决策的研究内容为属性权重的确定和方案的排序优选。基于此，本文主要分三部分：一是属性权重的确定，由于决策者的有限理性，无法使用精确的数值给出属性值的偏好信息，故属性权重的确定具有模糊性，基于此，采用直觉梯形模糊数来表述属性值的权重［12］；二是方案的排序优选，以所有解决方案中的理想点和负理想点作为CPT的参考点，采用前景价值的期望值代替TOPSIS法中的距离，最终选择的决策方案的确定仍依据理想点的贴近程度；三是仿真验证，以作战决策为背景，仿真验证本文方法的有效性。

2 基于直觉模糊数的权重确定

本文是在属性值已知的前提下进行决策，考虑到决策权重的模糊性，采用直觉梯形模糊数表述属性值的权重。设͂是实数集上权重p的直觉梯形模糊数，其隶属度函数和非隶属度函数分别如式（1）和式（2）所示：

式 中μp͂∈[0，1] ，vp͂∈[0，1] ，，和分别为隶属度函数和非隶属度函数的左、右侧基准函数。基于直觉梯形模糊数的权重可以表 述 为，具体表达公式为

直觉梯形模糊数的主要计算规则为

通过梯形模糊数的准确数据表述模糊性的属性权重，为后续方案的排序优选打下基础。

3 CPT-TOPSIS法的计算流程

本文采用前景价值的期望值代替TOPSIS法中的距离，并以所有解决方案中的理想点和负理想点作为CPT的参考点，参考点的选择具有一般性，易于操作，规避了依据个人偏好选择参考点的随机性。本节首先介绍了CPT的有关内容，其次给出了CPT-TOPSIS法的计算流程。

3.1 CPT

CPT是在PT的基础上提出来的，能够有效地克服前景理论违背随机性占优的现象［13］。前景是CPT的基本单元，数学表达为f=(x1，p1;x2，p2;…;xn，pn)，其中xi为第 i个结果相对于参考点第i个结果的收益值和损失值，pi为第i个结果的概率，升序排列x1≤…≤xk≤0≤xk+1≤…≤xn。CPT的前景价值VCPT(f)为

式中v(xi)为第i个结果的价值函数；πi-和πi+分别为第i个结果的损失决策权重和收益决策权重。

v(xi)的计算公式为

式中α和β分别表示收益和损失幂函数的凹凸程度，且均小于1；δ表示损失比收益更陡的特征，当值大于1时表示拒绝损失。

πi-和πi+的相关计算公式为

式中形如ω+(p)和ω-(p)的计算公式为

式中γ和ζ为参数，p为概率。

3.2 计算流程

以TOPSIS法为框架，CPT-TOPSIS法的计算流程如下。

步骤1：依据决策方案信息，确定决策方案矩阵。

矩阵每一行为一个决策方案，每个方案有n个属性值，总共m个决策方案。

步骤2：决策方案矩阵的归一化。

式中 maxx·j为第j列的最大值。

步骤3：确定理想点和负理想点，并确定所有解决方案前景价值中相对两个参考点的收益值或损失值（式（8）所示）。

xpos=[maxx·1，maxx·2，…，maxx·n] 和xneg=[minx·1，minx·2，…，minx·n]分别为理想点和负理想点。

步骤4：计算前景价值及其期望值。

步骤5：计算距离理想点的贴近程度。

式中Ci为第i个解决方案相对理想点的贴近程度，该值越大，方案越优。

4 仿真计算及结果分析

4.1 仿真计算

仿真条件为假设给定作战目标后，参谋人员制定五个决策方案。决策方案的属性值包含三个方面，一是投入成本，二是生存概率，三是毁伤概率。五个决策方案的属性值如表1所示。给定三个决策方案每个属性值权重的梯形模糊数如表2所示，表2中编号中数字为方案属性值。v(xi)计算时α和β的值分别为0.89和0.92。ω+(p)和ω-(p)计算时γ和ζ的值分别为0.6和0.7［14］。本文提出的CPT-TOPSIS法与相近的同类算法（文献［7］、［8］、［9］、［10］和［11］）进行对比，三者依次为CPT-TOPSIS法，方法1、方法2、方法3、方法4和方法5。

表1 不同方案的属性值

表2 不同方案属性值权重的直觉梯形模糊数

4.2 结果分析

通过分析表1中数据可以得到理想点和负理想点分别为［850 0.7 0.9］和［500 0.4 0.5］。通过计算可以得到CPT-TOPSIS法和文献［7］、［8］、［9］、［10］和［11］中方法得到的结果如表3所示。

表3 不同方法前景价值的期望值

从表3中可以看出，CPT-TOPSIS法与方法1、方法2、方法3和方法5求解的决策结果一致，均为方案1为最优结果，验证了方法的有效性。不同方法中五个方案的排序有所不同。CPT-TOPSIS法：a≻b≻c≻d≻e；方法 1：a≻e≻b≻c≻d；方法2：a≻d≻b≻e≻c；方案3：a≻b≻c≻d≻e；方法 4：b≻a≻c≻e≻d；方法5：a≻b≻c≻d≻e。各方法计算过程与CPT-TOPSIS法相似。方法1，方法2和方法3与CPT-TOPSIS法不同之处在于本文采用了理想点和负理想点代替人为参考点的选择；方法4和方法5与CPT-TOPSIS法的不同之处在于采用CPT代替PT。

仿真结果表明了CPT-TOPSIS法的有效性，实现了考虑人有限理性的特点，更加准确地反映了需求，能够为实施正确的决策提供支撑。相比其他方法，CPT-TOPSIS法除已经现有研究证实的CPT相比PT的优势，在参考点选择上更加客观理性，表现在以决策结果中准确数据为依据选择参考点，规避了决策者因偏好选择参考点导致结果不理性的缺陷。

5 结语

考虑到决策过程中人的有限理性，本文采用直觉梯形模糊数来表述属性值的权重，以所有解决方案中的理想点和负理想点作为CPT的参考点，采用前景价值的期望值代替TOPSIS法中的距离，最终实现决策方案的确定，构建了CPT-TOPSIS多属性决策方法。相比现有的方法，本文提出的方法能够进一步克服决策过程中存在的随机性，能够更加客观地给出决策结果。在未来研究中，属性权重的直觉梯形模糊数如何更加客观有效将是一项重要的研究方向。