例谈用数学方法处理高中物理问题

石震阳

[摘要]用数学方法处理物理问题的题目在全国卷和地方卷都有所出现。此类题目难度较大，综合考查了学生的数学思维能力、物理思维能力和解决问题能力。求解物理问题离不开数学方法。

[关键词]数学方法;物理问题;函数;圖形;归纳

[中图分类号]

G633.7

[文献标识码] A

[文章编号] 1674-6058（2020）17-0048-02

物理和数学紧密相连，密不可分。学好物理需要扎实的数学基础。处理物理计算题离不开数学方法和缜密的计算。多年的物理教学实践证明，数学成绩好的学生一般物理成绩都不会差。物理成绩好的学生，数学成绩一定好。本文结合典型例题探讨运用数学方法分析解决高中物理问题。

一、应用正、余弦定理和几何图形解决物理问题

正、余弦定理是数学中解三角形时常用的两个定理，学生在解决物理问题时也经常遇到三角形的问题，正确运用正、余弦定理和几何图形解决物理问题，往往能收到事半功倍的效果。

[例1]（2019.山东日照市3月模拟）如图1所示，两个质量分别为、/3m、m的小网环A、B用不可伸长的细线连着，套在一个竖直固定的大网环上，大网环的圆心为O。系统平衡时，细线所对的网心角为90°，大网环和小网环之间的摩擦力及细线的质量忽略不计，重力加速度大小用g表示，下列判断正确的是（

）。

A.小网环A、B受到大圆环的支持力之比是、/3：1

B.小网环A受到大圆环的支持力与竖直方向的夹角为15。

C.细线与水平方向的夹角为30°

D.细线的拉力大小为

解析：对A和B进行受力分析，根据平行四边形定则作出重力和支持力的合力，此合力的大小等于绳子的拉力的大小，设A、B所受的支持力与竖直方向的夹角分别为α和β，如图2所示。

再题图中，根据几何知识可以知道，细线与水平方向的夹角为180°-（45°+30°）-90°=15°，故选项C错误。

思路分析：要正确分析小网环A、B的受力情况，首先作出重力和支持力的合力。在网上画出A、B所受的支持力与竖直方向的夹角α、β是解题的关键。然后正确运用正弦定理解题。

二、应用三角函数分析物理问题

在处理物理矢量问题时，常常用三角函数知识来分析解决。三角函数不仅是高考数学的重要考点，也是处理物理矢量问题时不可缺少的解题方法。

[例2]（2019.山西临汾市二轮复习模拟）如图3所示是一旅行箱，它既可以在地面上推着行走，也可以在地面上拉着行走。已知该旅行箱的总质量为15kg，一旅客用斜向上的拉力拉着旅行箱在水平地面上做匀速直线运动，若拉力的最小值为90N，此时拉力与水平方向间的夹角为θ，重力加速度大小为g=10m/s₂，sin 37°=0.6，旅行箱受到地面的阻力与其受到地面的支持力成正比，比值为μ，则（

）。

A.μ= 0.5，θ=37°

B.μ= 0.5，θ=53°

C.μ= 0，75，θ=53°

D.μ= 0.75，θ=37°

解析：对旅行箱进行受力分析，如图4所示。

根据平衡条件，水平方向，有：Fcosθ-F^f=0

竖直方向有：F^N+Fsinθ-G=0

其中：F^f=μF^N，

思路分析：用三角函数知识处理物理问题的情形比较多，本题主要通过角度的分析，处理旅行箱的受力情况。通过力的正交分解，并应用相关三角函数知识，使问题迎刃而解。

三、应用归纳法解决物理问题

在解决某些数学问题时，可以采用归纳法，即从个别的、特殊的事例出发，推出一般的、普遍的规律。数学归纳法对人的思维要求较高，高中物理的某些问题也离不开数学归纳法。

[例3]（2019.山东日照市3月模拟）如图5所示，在平面直角坐标系xOy的第一、二象限内，存在以虚线OM为边界的匀强电场和匀强磁场。匀强电场方向沿y轴负方向，匀强磁场方向垂直于xOy平面向里，虚线OM与x轴负方向成45。角。一质量为m、电荷量为+q的带电粒子从坐标原点O处以初速度v⁰沿x轴正方向运动，粒子每次到达x轴将反弹，第一次反弹无能量损失，以后每次反弹水平分速度不变、竖直分速度大小均减为反弹前的1/2，方向相反。电场强度大小等于mv⁰/16gd，磁感应强度大小等于mv⁰/gd求：（不计粒子重力，题中各物理量单位均为国际单位，计算结果可用分式表示）

（1）带电粒子第三次经过OM时的坐标;

（2）带电粒子第三次到达OM时经过的时间;

（3）带电粒子从第二次进入电场开始，沿电场方向运动的总路程。

粒子运动轨迹如图6所示，由图可知，带电粒子第三次经过OM时的坐标为（-2d，2d）;

（3）因粒子第二次进入电场做类平抛运动，故到达x轴时的水平分速度为v⁰。

第一次竖直分速度减半反弹，竖直分速度为：

第二次竖直分速度减半反弹，竖直分速度为：

思路分析：数学归纳法是高考数学主观题常考知识点之一，也是处理物理问题常用方法之一。本题第三小问恰如其分地运用了数学归纳法。正确分析计算出第一次竖直分速度和高度就成功了一半。

高中物理中的极大值、极小值、临界值、边界值等物理问题常常需要用数学方法来解决。希望一线教师在教学中有针对性地加强这方面的训练，提高学生应用数学方法解决物理问题的能力。

（责任编辑 易志毅）