二维边值问题九点差分方程的病态因子与通用预条件子

张衡,郑汉垣

（1. 福建技术师范学院 a.无损检测技术福建省高等学校重点实验室；b.电子与信息工程学院,福建福清350300；2.龙岩学院传播与设计学院,福建龙岩364012）

大规模病态（高条件数）稀疏线性方程组常常来自偏微分方程大规模数值求解问题[1，2]，该方程组的条件数往往随着问题规模的增加而增加[3]，成为求解效率和精度的制约因素，因此，在迭代求解之前，使用预处理方法来减少方程组的病态，成为提高求解效率和精度的必要措施.“预处理技术”是指在求解方程组

预条件子的构造一直是难题，对病态问题缺乏科学研究是主要原因之一.目前关于病态机理和预处理原理的研究鲜见有成果发表.

文献[6]针对二维泊松方程边值问题的五点差分方程，研究了病态结构和病态因子，提出用去病因子消除原发病态的方法.文章研究二维泊松方程边值问题九点差分方程的病态问题，基于结构分析的策略[6-9]，研究病态结构，分离出该方程的病态因子、给出去病因子.通过与五点差分方程比较，说明去病因子的通用性.

1 基于病态结构的预处理策略

1.1 病态因子和去病因子

定义1 设β＞α，α,β是整数，Z 是α×β矩阵，如果ZZTT可逆，Cond(Z ZTT)是阶数α的增函数.则Z 称为α×β病态因子.

定义2 对于定义1中α×β的病态因子Z ，如果有可逆矩阵H 满足：ZZT=HHT，则称矩阵H 为属于Z的去病因子[6].

命题1[6]设Z 是α×β病态因子，矩阵H 为属于Z 的去病因子，则对于任意β阶正定对称矩阵P，有

1.2 矩阵的病态结构

定义3 称可逆矩阵A的如下结构为病态结构：

在定义3中，ZPZTT为A 的主体，所以Cond(A) ≈ Cond(Z PZT).Q对 病 态的影响很小.

定义4 在定义3中，由病态因子表达的病态称为原发性病态，其他因素表达的病态称为继发性病态.

1.3 基于病态结构的预处理

如果A有(3)式的病态结构，则根据命题1结论1)，可以利用病态因子的条件数，估计方程组的病态；根据命题1结论2)，属于Z的去病因子H可以抑制或者消除的作用，即消除原发性病态.

事实上，如果A具有(3)式的病态结构，使用去病因子H作为预条件子，则方程(1)化成

因为Cond(P)关于A的阶数一致有界，因此，HHTT是最优预条件子[5].

综上所述，提出如下基于病态结构的预处理策略：

1）通过结构分析，分离出病态因子，确定病态结构；

2）针对病态因子，确定去病因子；

3）去病因子是最优预条件子.

注1：不同的分析方法，可能得到不同的病态因子，同一个病态因子，也可以有不同的去病因子；病态因子的选择，应有利于计算条件数和得到去病因子，去病因子的选择，应有利于降低预处理成本.

基于病态结构的预处理策略，是针对病因的，病态因子就是病因，去病因子可以抑制病因发作.与此相比，以往的预处理方法主要是针对病症而不是病因，所以效果有限，难以通用.

依据上述预处理策略，确定病态因子和去病因子是预处理的关键，本文将针对二维泊松

2 二维泊松方程边值问题非均匀网格的有限差分方程

使用有限差分方法，求解二维泊松方程边值问题[4]91-98

2.1 非均匀网格的有限差分格式则

根据4阶精度的泰勒展开式，有

2.2 非均匀网格的有限差分方程

容易验证，由格式(6)确定的差分方程为

则向量uyx由边界条件和边界上的网格点确定，是已知的；格式(7)的矩阵形式如下

因此容易验证，由格式 (7)确定的差分方程为

3 有限差分方程的病态结构与去病因子

3.1 两个病态因子及其去病因子

证明：1)验证即可；

证明：直接验证.证毕

命题5.

命题 5说明Zt是病态因子，命题 4说明Ht是Zt的去病因子，t∈{5,9}.

3.2 有限差分方程的病态结构与去病因子

3) 根据命题1的结论2)可得.证毕.

命题 5和 6结论 1)和 2)说明：式 (12)、(13)表达了At的病态结构，Zt是At的病态因子；命题 4说明：Ht是Zt的去病因子；命题 6结论3)说明：Ht是最优预条件子.

上述差分方程(9)、(11)都有(3)式的病态结的主要病态来自微分算子，病态因子是这些病态的表达，而去病因子则可以抑制或者消除这些病态.

基于病态结构的预处理策略是针对病因的，可以从根本上解决病态的主要问题.

病态因子及其去病因子有简单、确定、独立的结构，病态因子及其去病因子可以因数值方法的不同而有不同的形式，但是病态结构是类似的.

4 有限差分方程去病因子的通用性

文献 [6]给出的差分方程与方程 (9)是 2阶精度的不同差分格式得到的不同的差分方程，有类似的病态结构，病态因子完全相同，因此去病因子也通用.

由命题1结论1），结论成立.证毕.

命题7 结论1）、2）分别说明，H9,H5可以作为方程(9)、(11)的预条件子，仍然是最优预条件子，所以H9,H5是通用的预条件子.

5 结论

5.1 二维泊松方程边值问题有限差分网格方程的原发性病态，是微分算子造成的，差分方程的结构中包含表达这种病态的病态因子.基于病态结构的预处理策略，是针对这种病因的所采取的方法，可以从根本上抑制病态，并且使用的预条件子具有通用性.

5.2 与以往的预处理方法比较，基于病态结构的预处理策略，针对性强（针对病态因子），目标和效果明确（消除原发性病态，控制继发性病态），方法具有通用性.

5.3 病态因子和去病因子有稀疏、独立的结构，因此在预处理中，无须专门的存储，易于编程，不显著增加计算复杂度.

5.4 去病因子不唯一，而且是通用的，有利于根据实际问题和计算环境的具体需要（如并行计算等的需要），灵活设计.