压裂水平井产能预测方法研究进展

李旭飞

（1.西安石油大学石油工程学院，陕西西安 710065；2.陕西省油气田特种增产技术重点实验室，陕西西安 710065）

常规油气资源供给越来越少，油气资源供给与需求的矛盾日益突出。国内外开发实践证明，水平钻井技术和大型压裂技术是成功开发低渗透油藏的核心技术[1]。目的是改善储层的导流能力、扩大泄油半径，在现场得到了广泛应用。压裂技术成本高、工艺复杂，压裂后对油气井的产能预测具有重要的理论意义和经济价值。也成为目前国内外石油工程领域热门研究方向。压裂水平井产能预测的研究对象为流体在裂缝内流动及裂缝外区域流动的描述以及影响因素分析等。影响压后水平井产能因素众多，如：裂缝空间分布、应力敏感、启动压力梯度、油藏内外边界条件、完井方式等，这些因素相互影响致使压后水平井产能预测十分困难。而压裂后产生的高渗透水力裂缝是水平井增产的主要影响因素，因此压裂后裂缝在地层中的空间分布模型及渗流规律是研究的重点。为准确描述压裂后基质与裂缝间的渗流规律，国内外学者根据压裂附近区域的改造程度提出了多种线性流模型（见表1）。求解压后水平井产能的方法有：解析法、半解析法、数值模拟法等。本文详述了各方法的优缺点及未来压裂水平井产能预测的方向。

1 压裂水平井产能求解方法

1.1 解析法

解析法多用于分段压裂水平井的产能预测，为便于求解需对油藏和裂缝模型进行假设简化，因此求解的模型较为理想。重点解决单井多条裂缝单相渗流问题，采用各种数学方法通过严谨的推导得到简化模型的精确解。郎兆新等[5]首次基于位势理论和势的叠加原理，在求出单条裂缝的压力分布后采用叠加原理建立了多条等流量裂缝压裂水平井产能预测方程，开启了国内压裂水平井产能预测的先河。之后宁正福等[6]，李廷礼等[7]，罗懿等[8]在此基础上考虑了裂缝内的渗流阻力和压力损失、有限导流水平井筒、启动压力梯度和应力敏感等因素对产能的影响，这些模型是对郎兆新的产能公式的修正。该方法求解思路清晰，但求解手段较为单一，因此研究重点是寻找新的解法，如：范子菲等[9]，张建军等[10]，Chen 等[11]应用保角变换、丁一萍等[12]应用当量井径法、徐严波等[13]应用离散裂缝法分别求解了分段压裂水平井的产能模型，促进了解析法的发展。由于低渗储层的非均质性极强，压裂形成的裂缝在长度、角度、导流能力等方面不尽相同，需要考虑的影响因素越来越多，方程的求解难度加大，目前使用解析法求解的文献已不多见。

不同学者得出的结论基本一致：（1）受裂缝间相互干扰的影响两端裂缝的产量高，中间裂缝产量最低，且存在最优的裂缝条数；（2）由于摩阻的存在水平段井筒长度并非越长越好；（3）随着对压裂造缝机理研究的深入，普遍认为裂缝在地下的分布具有一定倾角并与天然裂缝相互交叉形成复杂缝网；（4）需对影响压裂水平井产能的因素综合考虑。

不足：（1）解析法会采用一系列假设简化实际油藏参数来建立数学模型，因此可得到简化模型的精确解但简化过的模型实用性有限；（2）不能考虑开发时间对产能的影响，求解方法较为单一；（3）所使用的裂缝模型较为简单多为双翼对称裂缝模型且未能考虑天然裂缝网络；（4）只能解决稳态单相达西渗流问题，在低渗储层中计算误差较大。

1.2 半解析法

半解析法采用点源函数理论，将裂缝离散为有限个点源，采用叠加原理、纽曼积分等方法，建立有限个点源同时存在时井底压力分布。重点解决非稳态单相渗流问题，优点是裂缝的线性离散可以充分描述裂缝的非均质性、裂缝倾角、裂缝间相互干扰对渗流的影响。目前主要应用的源函数有：（1）1973 年Gringarten 等[14]首次将热传导方程里的点源函数引入渗流力学这一领域，为单重介质油藏渗流问题压后水平井的压力分布及产能预测提供了新思路；（2）1988 年Ozkan[15]在Gringarten源函数的基础上应用拉普拉斯变换与数值反演方法优化了计算过程，给出了双重介质油藏在不同边界条件下的点源函数，得到了国内外学者的广泛使用；（3）2007 年Valko 等[16]提出体积源函数，可以考虑源的尺寸对渗流的影响即考虑三维裂缝模型，对解决复杂缝网渗流问题也有较好的适用性。目前分段压裂及体积压裂是现场广泛应用的压裂工艺，因此国内外学者研究重点是水平井应用这两种压裂工艺后的产能预测。

表1 线性流模型

1.2.1 半解析法求解分段压裂水平井产能模型 分段压裂水平井多采用多条双翼裂缝模型进行研究，重点解决非垂直裂缝、不稳定渗流、多因素相互影响等对产能的影响。由于地层的非均质性以及钻井和完井过程引起的应力场变化，压裂时会出现倾斜裂缝，国内外学者基于Gringarten 及Ozkan 源函数对倾斜裂缝模型进行了研究，并通过双对数坐标来分析试井曲线的斜率划分不同渗流阶段[17]。Luo 等[18]、任宗孝等[19]分别基于Ozkan 源函数和Gringarten 源函数，应用坐标转换法及坐标平移原理，解决了裂缝倾角对产能的影响，建立了裂缝与水平井筒任意夹角的分段压裂水平井产能模型。王本成等[20]基于Ozkan 源函数、正交变换法更详细的讨论了裂缝在任意倾角，非等高、非等间距条件下多段压裂水平井压力分布方程，认为裂缝半长越长或间距越小，裂缝间的相互干扰现象出现的越早。

在实际生产中，裂缝导流能力会随着生产时间推移逐渐衰减，而非稳态研究中多数学者认为裂缝导流能力不变。杨正明等[25]研究了裂缝导流能力随时间衰减及多条裂缝间干扰对分段压裂水平井非稳态条件下对产能的影响。低渗透储层存在应力敏感效应，严重影响储层物性、流体渗流特征及井底压力动态。Jiang 等[26]考虑分段压裂后流体在裂缝中的非达西流且天然裂缝与水力裂缝具有不同的应力敏感系数对井底压力动态的影响，认为非达西流对早期渗流阶段影响较大，应力敏感现象对中后期渗流阶段影响较大且水力裂缝中非达西流使得应力敏感效应更加明显。

上述学者建立的裂缝模型是二维的，无法考虑裂缝内部压力变化。Larsen 等[21]首次计算三维裂缝下的压裂水平井产能方程，但将裂缝在z 方向上用平均压力代替裂缝中的压力。而Wan 等[22]认为这并不准确，在二维解析解的基础上在z 方向上应用无穷傅立叶余弦级数将其转换到三维裂缝模型中求解了产能方程。Lin 等[23]建立了一种平板源方法应用叠加原理求解压裂水平井压力分布方程，同时考虑源内部压力变化，但它是在实空间中推导的，无法将井筒存储效应、表皮系数等因素考虑在这种板源中。在此基础上Jia 等[24]应用Ozkan 源函数建立了倾斜板源函数，并在拉氏空间中考虑在井筒存储效应、表皮系数等因素影响下的有限导流倾斜裂缝井底压力分布模型。

1.2.2 半解析法求解体积压裂水平井产能模型 水平井体积压裂后天然裂缝与水力裂缝纵横交错形成复杂缝网，在裂缝交叉处产生流体流向重定向及流量重分配的问题，这对流体的渗流规律影响很大。目前主要应用的方法是节点分析法、“星-三角形”变换法来消除缝网交叉点。Chen 等[27]总结了水力压裂后引起的裂缝分布的多种几何结构，包括张开型裂缝网络、树状裂缝网络、径向多重裂缝网络和相互正交的裂缝网络，使用节点分析法来消除在裂缝交汇处流动相互作用。Karimi等[28]基于“星-三角形”变换方法建立了复杂缝网内裂缝间传导率计算公式，为多裂缝交叉裂缝间传导率的计算提供了依据。在此基础上任宗孝等[29]考虑多条非垂直裂缝相互交叉引起的“劈分”流动，通过“星-三角形”变换计算出裂缝传导率通式，建立了Y 字型裂缝交叉、十字型裂缝交叉以及多条裂缝交叉复杂缝网渗流模型。

不足：（1）目前广泛使用的Ozkan 及Gringarten 源函数，难以描述复杂边界条件的油气藏、多相渗流以及地层的非均质性；（2）大部分文献对分段压裂水平井渗流模型只进行了敏感性分析如裂缝角度、长度等，而没有对影响压裂水平井产能的多参数进行组合优化，而体积压裂水平井使用的缝网形状过于简化；（3）大部分模型为单口压裂水平井二维渗流模型，没有考虑多口压裂水平井同时生产、起伏井筒中的变质量管流等。

1.3 数值模拟法

油田的开发具有不可逆性，数值模拟是油藏开发方案设计中最为重要的参考资料。在解决多相流、多井、复杂缝网模型、非常规储层生产动态预测等方面优势明显。数值模拟法应用网格模型模拟油藏几何空间形态及流体分布关系，其核心在于网格划分和差值函数的选取，根据基质与裂缝间渗透率的巨大差异，在对裂缝和基质进行适当的网格离散后，建立压力和饱和度方程，并进行相应的离散得到网格间的传导率来模拟地层流体的渗流规律。数值模拟法从算法上进行区分可分为三种（见表2）。

表2 数值模拟法分类

1.3.1 数值模拟法求解步骤 数值模拟法采用时间差分的方法进行油藏开发动态变化过程描述，采用数值解法求解微分方程即数值模拟法可以得到精确模型的近似解，基本步骤：（1）将裂缝和基质进行离散化处理，为了使计算效率提高，需要优化网格数量、大小、形状等；（2）选取各网格内渗流方程的近似差值函数，为了计算机求解方便，一般选取具有不同次方的多项式；（3）分析简化得到各网格内渗流方程的特性矩阵方程；（4）将各网格矩阵方程组合形成整个油藏的矩阵方程（包括裂缝和基质），编程求解。

1.3.2 数值模拟法常用数学模型 数值模拟目前常使用的数学模型有：双重介质模型、等效连续介质模型、离散裂缝网络模型。双重介质模型要求基质和裂缝是连续的，所以应用范围有限；等效连续介质模型主要用于解决地层非均质性对产能的影响；离散裂缝网络模型计算精度高、适应性强近年来发展迅速。但常规的离散裂缝模型依赖于对井筒及缝网局部进行网格加密处理以实现精准耦合，这就导致计算量的成倍增加。为解决这个问题学者们提出了嵌入式离散裂缝模型Li 和Lee[30]和非结构化网格技术，进一步促进了数值模拟技术的发展。

1.4 有限差分法求解产能模型

有限差分法是一种成熟的数值计算方法，是油藏数值模拟中最早、最常用的方法。主要应用矩形网格对油藏进行离散，为了提高模拟精度需要对裂缝周围的网格进行加密处理，然后在网格点上选用适当的插值函数，把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解，计算方便，易于编程求解。该方法属于区域型数值模拟方法，需要对整个研究对象进行离散，致使网格数量大、计算速度慢。因此国内外学者的研究重点是优化求解精度及网格数量。

通常数值模拟在求解过程中将裂缝考虑为一个高渗流带，任岚等[31]认为假设具有较大的误差，为此引入了天然差分法求解裂缝与油藏系统单独渗流时的问题。求解过程中采用隐式压力-显式饱和度方法（IMPES），即通过隐式求解地层和裂缝压力，再通过显式求解地层和裂缝含水饱和度，从而计算出未来任意时刻压裂井的产量变化。黄涛等[32]认为传统的有限差分法基于相邻网格中心点的压力值求取网格单元驱替压力梯度，而低渗透油藏的非均质性极强，在不同区域甚至不同网格单元的启动压力梯度不尽相同。基于模拟有限差分法（MFD）采用IMPES 方法（对压力方程应用MFD 法，对饱和度方程应用有限体积法）对油水两相流问题进行了模拟，并考虑因储层的非均质性引起启动压力梯度是非线性的问题。

为提高计算效率，国内外学者采用多种方法减少网格数量。Moinfar 等[33]在求解复杂缝网模型中采用嵌入式离散裂缝模型，在对基质进行网格离散后，将压裂形成的裂缝系统作为单独的控制体嵌入至油藏网格中，并记录裂缝与网格之间的相对位置，优点是在划分网格时不需要考虑油藏内的裂缝形态，对复杂缝网模型较为适用，可大大降低网格数量。由于低渗透油藏在基质、裂缝间的物性参数在数量级上相差很大，具有多尺度特征，由此多尺度数值模拟方法被提出。该方法在网格划分时先划分大网格然后将大网格分为有限个小网格，在大网格求解控制方程，小网格上求解局部流动方程获得多尺度基函数，该方法保持了传统尺度升级法的计算效率又可降低运算量。张庆福等[34]应用多尺度模拟有限差分法研究嵌入式离散裂缝模型渗流问题，通过在粗网格上求解局部流动问题计算多尺度基函数来捕捉裂缝与基岩间的相互关系，反映单元内的非均质性的同时保证求解精度和求解速度。

1.5 有限元法求解产能模型

有限元法是近年来广泛使用的数值计算方法，由最初的力学领域扩展到渗流力学。该方法采用三角网格对油藏进行离散，并假设网格内油藏均质，然后选取差值函数，应用Galerkin 计算格式建立有限元方程，并将局部有限单元方程组合成区域内有限元方程组，求解整体有限元方程组，从而得到区域内压力场、渗流场等特征。相比于标准五点有限差分网格具有线性插值的三角形单元网格更有利于复杂边界油藏和多相流的模拟[35]。

Langsrud[36]基于有限元法模拟了油气两相流动产能模型，开启了有限元法在油藏数值模拟中的应用。Charles 等[37]对比有限差分法详细阐述了有限元法的优点：（1）处理复杂边界问题更加灵活，克服了有限差分法对油藏边界的限制；（2）网格取向性较弱，可以更好逼近突变面；（3）隐式求解，求解过程更稳定，结果更光滑。这些优点推动了有限元法在油气藏数值模拟中的应用。

该方法同样属于区域型数值模拟方法，为提高计算效率国内外学者应用多种方法简化网格数量。Karimi-Fard 等[38]采用复合网格离散方法即基质采用三角形离散，裂缝采用线单元离散并进行降维处理，提高了计算速度。在此基础上万义钊等[39]考虑了裂缝不等长，不对称，不等间距等对压力分布的影响。为进一步优化网格数量，通常使用网格粗化法，但粗化后的大尺度网格不能充分模拟油藏小尺度特征[40]。为此姚军等[41]基于多尺度混合有限元方法研究了强非均质油藏中的油水两相渗流问题，建立了油水两相渗流问题的多尺度混合有限元计算格式，与传统有限元法相比该方法通过大网格捕获小尺度特征，在精度与网格数量间得到了平衡，同时也减少了模型求解时间。在此基础上张娜等[42]对强非均质油藏油水两相非线性渗流进行研究。

体积压裂会在地层中产生复杂缝网、为解决开发过程的应力敏感问题，考虑流固耦合效应成为现阶段热门研究方向。徐加祥等[43]对致密油藏中水平井井筒、水力裂缝和天然裂缝的分布进行建模，建立了基质-裂缝-井筒耦合流动模型对压裂后致密油藏产能进行模拟，并分析不同水力裂缝长度和间距对产能的影响。任龙[44]基于有效应力原理及改造区多重孔隙介质流体流动特征，建立考虑基质、天然裂缝和网络裂缝系统特征的流固耦合数学模型，进行应力场-渗流场全耦合有限元数值求解。

1.6 边界元法求解产能模型

边界元法分为直接和间接边界元法，在石油工程领域，间接边界元法多用于解决压裂过程中裂缝扩展问题，直接边界元法多用于解决油藏渗流问题的求解。由于有限差分和有限元法应用时需要对整个研究对象进行离散，致使在求解时难以同时兼顾计算速度和精度。而边界元法只对油藏边界进行数值离散，优点是：能大幅降低离散单元数量，计算速度快；求解误差仅来自边界的离散，对油藏内渗流物理量的求解，采用精确的基本解进行计算。目前应用最广泛的基本解有：（1）Gringarten 基本解用于解决单重介质油藏渗流问题；（2）Ozkan 基本解用于解决双重介质油藏渗流问题。

Tiab 等[45]详细的阐述了边界元法的优点：（1）划分的单元格更少且能够对裂缝进行降维处理；（2）没有网格取向和数值分散效应；（3）计算速度和精度有很大提高；（4）可以处理复杂边界油气藏和边界条件，灵活性强。

现有文献主要集中应用于直井和分段压裂水平井二维渗流模拟。刘青山等[46]认为边界元法是处理非规则油藏边界的有效手段，对比有限元法阐述了边界元法的优点，认为边界元法在油藏数值模拟和试井领域有广阔的应用前景。张烈辉等[47]认为边界元法不仅能求解复杂边界油藏渗流问题，在非均质油藏渗流方面也具有较好的适用性，并采用复合油藏理论模型建立了缝洞型非均质油藏直井井底压力分布模型。Idorenyin等[48]将直井等效为二维点源，裂缝为点源沿裂缝几何形状的数值积分。详细的论证了边界元法不同完井类型（直井、水力压裂直井、分段压裂水平井）及边界条件（封闭、定压和混合边界条件）中的应用。Wu 等[49]将油藏分为压裂波及区（SRV）和未波及区（USRV），在压裂波及区采用双孔介质模型及点源函数求解，在未波及区采用单孔介质模型结合运动方程、状态方程、连续性方程求解，通过对两个边界进行线性离散，建立了分段压裂水平产能模型。

数值模拟法不足：（1）有限差分和有限元法虽已有方法简化网格离散，但实际油藏尺寸巨大，网格的离散时需兼顾尺寸大小和计算机运算时间。离散后的网格在每个时间步都需要循环计算压力、网格间的传导率，致使模型求解时间长，尤其在进行多种方案优化时；（2）目前，边界元法都是二维渗流模型，不能解决压裂水平井三维渗流问题；（3）基于网格间传导率来模拟流体的流动，很难模拟低渗储层的渗流机理；（4）数值模拟需要提供大量的参数，而油田开发初期部分参数获取较为困难。

2 结论及发展趋势

总体来看目前所使用的产能研究方法各有优缺点，国内外学者对此做出了巨大贡献。而寻找高效、准确的产能预测方法仍是目前致密油气开发面临的难题，未来需在下面几个方面深入研究：

（1）压裂水平井产能预测最重要的两点：①渗流模型是产能预测的基础，占主导地位，但目前还没有形成统一的渗流模型；②求解方法各异，在对求解精度、速度、复杂度对比时各方法优缺点明显。不同的学者利用不同的数学模型及求解方法，推导出来的公式有一定差异。因此需要继续改进并寻找新的渗流模型和求解方法。

（2）压裂水平井产能预测模型考虑的影响因素越来越全面，围绕流体在基质、裂缝间的渗流规律不断有新的理论提出，但目前解析法和半解析法大多考虑单个压裂水平井、对复杂边界条件油藏、多口压裂井间的相互干扰仍需进一步研究；由于致密油藏在压裂后存在多尺度渗流特征而双重介质模型对基质与天然微裂缝做“糖块型”高度简化的处理无法准确描述多尺度渗流介质的非均质性；现有文献大多进行单因素的敏感性分析而少见多参数组合优化。

（3）目前数值模拟法对油气水三相的模拟依然少见，为提高计算效率和精度，未来要在模型建立、网格划分、算法上进行优化。致密储层中流体的渗流规律不仅是线性流且往往存在天然裂缝，压裂后形成的复杂缝网对流体的渗流规律影响很大，如何建立考虑储层裂缝特征的渗流模型并进行有效模拟是目前研究的重点。