年号数2020是数字和变换下的黑洞数吗

文[1]证明了“2019是数字和乘168后再加上3变换下的黑洞数”，那么年号数2020还是数字和变换下的黑洞数吗？本文予以探讨.

设A是一个正整数，把A的所有数位上数字的和（以下简称“A的数字和”）乘9后再加上1984，得到B.我們把从A到B的过程叫作A的f变换，记作f（A）=B.对B继续作f变换，得到f（B）=C;对C继续作f变换，……，那么，A经过有限次f变换后有什么结果呢？

定义 f1（A）=f（A），f2（A）=f（f1（A））， f3（A）=f（f2（A）），…，fk+1（A）=f（fk（A））.

f1（1）=f（1）=1×9+1984=1993，f2（1）=f（f1（1））=f（1993）=22×9+1984=2182，f3（1） =f（f2（1））=f（2182）=13×9+1984=2101，f4（1）=f（f3（1））=f（2101）=4×9+1984=2020，f5（1）=f（f4（1））=f（2020）=4×9+1984=2020.

f1（2）=f（2）=2×9+1984=2002，f2（2）=f（f1（2））=f（2002）=4×9+1984=2020.

f1（3）=f（3）=3×9+1984=2011，f2（3）=f（f1（3））=f（2011）=4×9+1984=2020.

猜想 对于任意正整数A，A经过有限次f变换后最终为2020.

证明 设ai∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}，用A=a1a2…an=∑ni=1ai×10n-i表示由a1、a2、…、an组成n位正整数（以下同）.

那么A-f（A）=∑ni=1ai×10n-i-9∑ni=1ai+1984=∑ni=1ai×（10n-i-9）-1984.

当A>9999时， A-f（A）=∑n-5i=1ai×（10n-i-9）+9991an-4+991n-3+91an-2+an-1-8an-1984≥9991-8×9-1984=7935.

所以当A>9999时A-f （A）≥7935.

（1）一一验证，当1≤A≤9999时，A经过有限次f变换后最终为2020.

当1≤A≤9999时，1≤A的数字和≤9+9+9+9=36，由f （A）=9∑ni=1ai+1984知，B的可能值为：9k+1984（k=1、2、3、…、36）.B≤9×36+1984=2308，B的数字和<2+9+9+9=29，由B=9k+1984知B除以9的余数是4，可知B的数字和除以9的余数也是4，小于29且除以9的余数是4的数只有4、13、22，B的数字和为4、13、22，所以C=9×k+1984（k=4、13、22）.

当k=4时，C=9×4+1984=2020;

当k=13时，C=9×13+1984=2101，f（2101）=9×4+1984=2020;

当k=22时，C=9×22+1984=2182，f（2182）=9×13+1984=2101，f（2101）=9×4+1984=2020.

可见，当1≤A≤9999时，A经过有限次f变换后最终为2020.

（2）推证当A>9999时，A经过有限次f变换后最终为2020.

由“当A>9999时A-f （A）≥7935”知：如果fk（A）>9999时，则fk（A）-fk+1（A）≥7935.

如果f1（A）=f（A）≤9999，由（1）的一一验证可知，经过有限次f变换后得到2020;如果f1（A）>9999，那么对f1（A）继续作f变换得到f2（A）.f2（A）

如果f2（A）≤9999，由（1）的一一验证可知，f2（A）经过有限次f变换后得到2020;如果f2（A）>9999，那么对f2（A）继续作f变换得到f3（A）.f3（A）

……

如果fk（A）≤9999，由（1）的一一验证可知，fk（A）经过有限次f变换后得到2020;如果fk（A）>9999，那么对fk（A）继续作f变换得到fk+1（A）.fk+1（A）

A=a1a2…an是一个给定的A>9999的整数，fk+1（A）<fk（A）<…<f3（A）<f2（A）<f1（A）<A，如果fj（A）>9999，则fj（A）-fj+1（A）≥7935，可见A作有限次f变换总能使fk+1（A）≤9999，由（1）的一一验证可知，A经过有限次f变换后得到2020.

可见，当A>9999时，A经过有限次f变换后得到2020.

由（1）及（2）知，对于任意正整数A，A经过有限次f变换后最终为2020.

由此，我们得到一个真命题：

命题 设A是一个正整数，把A的数字和乘以9后再加上1984，得到B.我们把从A到B的过程叫作A的f变换，记作f （A）=B.对B继续作f变换，得到f（B）=C;对C继续作f变换，……，那么，A经过有限次f变换后最终为2020.

2020是所有数位上数字的和乘9后再加上1984变换下的黑洞数.

年号数2021、2022、2023、…等还是数字和变换下的黑洞数吗？笔者对2020到2049这30个数经过观察特例、归纳猜想、推理证明得到：

2020+10k（k=0、1、2）是所有数位上数字的和乘9后再加上1984+k变换下的黑洞数.2021+10k（k=0、1、2）是所有数位上数字的和乘9后再加上1976+k变换下的黑洞数.

2022+10k（k=0、1、2）是所有数位上数字的和乘9后再加上1968+k变换下的黑洞数.

2023+10k（k=0、1、2）是所有数位上数字的和乘9后再加上1960+k变换下的黑洞数.

2024+10k（k=0、1、2）是所有数位上数字的和乘9后再加上1952+k变换下的黑洞数.

2025+10k（k=0、1、2）是所有数位上数字的和乘9后再加上1944+k变换下的黑洞数.

2026+10k（k=0、1、2）是所有数位上数字的和乘9后再加上1936+k变换下的黑洞数.

2027+10k（k=0、1、2）是所有数位上数字的和乘9后再加上1928+k变换下的黑洞数.

2028+10k（k=0、1、2）是所有数位上数字的和乘9后再加上1920+k变换下的黑洞数.

2029+10k（k=0、1）是所有数位上数字的和乘6后再加上1951+4k变换下的黑洞数.

2049是所有数位上数字的和乘135后再加上24变换下的黑洞数.

参考文献

[1] 王凯成.有趣的2019[J].中学数学教学参考（初中版），2019（12）：47-48.

[2] 王凯成.数字和变换下的黑洞数探秘[J].中学数学教学参考（高中版），2018（5）：69-70.

[3] 王凯成.数字和乘以99变换下的黑洞数及猜想[J].中学数学杂志，2018（9）：61-62.

[4] 王凯成.数字和变换下的黑洞数再探[J].中学数学教学参考（高中版），2018（11）：63-64.

作者简介

王凯成（笔名王凯），陕西师范大学数学系七七级，教授，全国优秀教师，教育部第三批国培计划专家库专家，曾宪梓奖获得者，全国初等数学研究会常务理事，第六届中国幻方研究协会普及教育部副部长，陕西省中小学教师队伍建设专家指导委员会、陕西省首批中小学教师培训评估专家库成员，在省级及以上刊物发表论文188篇.近年被全国多所师范院校邀请给小学数学国培班作专题讲座.