基于变分法原理的浅埋隧道围岩压力上限研究

张 翾, 黑世强, 戴世伟

(1. 交通运输部公路科学研究院， 北京 100088； 2. 中国路桥工程有限责任公司， 北京 100011)

0 引言

由于隧道开挖对浅埋段软弱围岩的扰动较为明显，当支护效果不足时，浅埋段比深埋段更可能发生延伸至地表的塌方事故[1-2]。浅埋段埋深较小，受地形影响，沿隧道轴向各断面埋深不一致，隧道的变形机制和破坏时的崩塌范围发生变化，这是因为在隧道横截面上，由于应力的重新分布，小范围的塌陷会在硐室上方形成 “塌落体”[3]。埋深很小时，隧道塌落体会延续到地面，且埋深越大，隧道所需的支护力往往越大；当埋深较大时，隧道塌落范围几乎不受埋深影响。为确定浅埋段隧道开挖的稳定性，需对相应的顶部塌落范围、围岩压力的变化规律和浅埋段的影响范围进行分析，为确定合适的支护参数强度提供理论依据。

目前，已有许多学者分别研究了隧道在深埋和浅埋2种条件下的塌落问题。Atkinson等[4]利用上限和下限定理，建立无黏性土隧道楔形体破坏机制，并对楔形体的变形特性进行验证。为避免失效机制构造过于简单而难以得到最佳上限解，Mollon等[5]提出基于对数螺旋线的隧道二维破坏机制，然后利用空间离散技术建立隧道开挖面三维破坏机制，能够较为准确地反映掌子面的破坏特征。人为假定塌落面形式存在一定的主观性，Fraldi等[6]基于Hoek-Brown破坏准则和欧拉方程，首次确定了具有严格力学意义的曲线破坏机制，得到了隧道顶部围岩的坍塌面上限解。考虑支护力和锚杆的支护效果，黄阜[7]分析了深埋和浅埋隧道在支护力作用下的塌落机制。由于深埋隧道通常受到地下水的影响，为分析孔隙水的作用，Yu等[8]采用非线性摩尔-库仑破坏准则推导了深埋土质隧道三维破坏的塌落形状。上述研究表明，深埋和浅埋隧道塌落机制差异较大，且浅埋隧道地表坡段的埋深随地形变化，无法简单地定性为深埋或者浅埋；而构建隧道上方合理的塌落区域是分析隧道围岩压力以及稳定性的前提条件，因此有必要探究在埋深变化条件下隧道围岩压力的分布规律。

本文基于Hoek-Brown破坏准则，对浅埋段隧道塌落的上限解进行分析，得到随隧道埋深和倾斜变化的塌落面方程和围岩压力分布，并基于围岩压力沿隧道轴向的变化规律划定浅埋段的影响范围。

1 浅埋段隧道顶部塌陷面上限分析

1.1 Hoek-Brown准则

岩土工程中稳定性分析依赖一定的简洁有效的屈服准则。其中，Hoek-Brown准则因能够反映从极完整的硬岩块到质量非常差的软岩块的变化性质，而受到大量研究人员的青睐[9-10]。该准则由Hoek等[11]提出，采用了一种直观的基于经验试验的方法来准确描述不同岩体的特性。Hoek-Brown准则通常表达为最大和最小有效主应力的形式：

(1)

式中：σ1和σ3分别为最大和最小主应力；σc为岩石的单轴抗压强度；mb、a和s分别为与岩体特性相关的3个量纲一的量，分别可表达为以下形式。

(2)

(3)

(4)

式(2)—(4)中： GSI为岩体强度指标；mi为岩体常数；D为岩体的扰动系数。

1.2 浅埋段塌落面方程推导

山岭隧道在支护不及时的情况下，容易出现“冒顶”事故。其上方塌落体如图1所示。在埋深较小时，塌落体延伸至地表，可假设塌落体底部和顶部宽度分别为L0和L1，在均一岩体中，塌落体左右对称。塌落体和稳定岩体间以临界塑性面隔开，在塑性理论中可以视为速度间断面。为减少人为主观因素的影响，塌落体形状不事先假定，而是通过极限分析和解析数学方法得出速度间断面所示的塌落面的解析式。假定待求的塌落面表达式为函数f(x)，在主动极限状态条件下，塌落范围内土体发生向下的塌落，塌落虚速度为u。沿速度间断面f(x)的岩体发生分离，分界面上2部分岩体的作用力包括破坏时的法向应力σn和剪切应力τ，因此将采用的Hoek-Brown屈服准则写成摩尔平面上的形式：

(5)

式中：A和B均为通过岩体三轴试验得到的拟合量纲一的量，并反映岩体的抗剪强度和非线性；σc和σt分别为岩石的单轴抗压强度和抗拉强度，MPa。

图1隧道浅埋段上方塌落体

Fig. 1 Collapse above shallow tunnel section

当岩土材料服从关联流动法则时，塑性势面与屈服面一致。因此，塑性势函数

(6)

屈服面上正应变ε和剪应变γ为：

(7)

利用极限分析的上限定理，得到塌落表面任意一点的耗散功率

(8)

耗散能计算为

(9)

重力做功

(10)

式中：γ为土体重度，kN·m-3；h为硐室的埋深。

地面超载做功

Pσs=σsL1u。

(11)

隧道支护力q的功率

Pq=quL0cos π。

(12)

根据虚功原理[13]，定义总内能耗散与外力做功之差为待求解的目标函数，即

(13)

其中，Λ[f(x),f′(x),x]函数表示为

Λ[f(x),f′(x),x]=σt-σc[ABf′(x)]1/(1-B)(1-B-1)+

γf(x)。

(14)

式(14)可以使用变分法原理求解，相应的欧拉方程为

(15)

化简得

(16)

其通解为

(17)

将式(17)代入式(14)，再将计算结果代入式(13)，分别得：

(18)

(19)

考虑几何条件和边界条件，在地面处的剪应力为0，即

τxy(x=L1,y=0)=0。

(20)

解得

C0=γL1。

(21)

在塌落面2个端点处的边界条件为：

(22)

联立求解，得到

(23)

根据能量守恒关系，塌落面上的耗散功率抵消外力做功，代入式(13)，化简得

σsL1=0。

(24)

故可求解得到塌落面方程为：

(25)

1.3 围岩压力推导

令L0=b，b为隧道断面半宽，对能量守恒方程式(24)进行优化，可以得到隧道围岩压力上限解的解析表达式为

(26)

沿着浅埋段纵向埋深发生变化。

隧道浅埋段围岩压力分析如图2所示，考虑浅埋段地表为单向倾斜的，则可以假定

h=Ltanα。

(27)

将式(27)代入式(26)，可得围岩压力

(28)

1.4 浅埋段的影响范围分析

浅埋段通常是隧道最薄弱的部位，其影响范围是一个比较重要的问题，对指导衬砌的合理设计有着重要的意义[14-15]。浅埋段影响范围大都是基于个人经验或统计资料进行划分的，得出的结论缺乏定量的理论依据。因此，需要建立一套有明确力学意义的标准，来对浅埋段进行划分。在分析浅埋隧道顶部塌落面形状时，随着埋深增加，塌落面的顶部宽度L1逐渐减小。当隧道埋深足够大时，隧道顶部的塌落面逐渐形成一个拱形，而不再延伸到地表，此时沿着隧道中线左右两边塌落体顶端合并为一个点。可以考虑围岩竖向压力达到峰值，该峰值点位置距离洞口的距离为浅埋段的有效影响范围，其范围的推导可以根据函数求极值的方法得到。

图2 隧道浅埋段围岩压力分析

Fig. 2 Analysis of surrounding rock pressure at shallow tunnel section

(29)

化简得

(30)

(31)

求解为

(32)

故浅埋影响段的有效长度为

(33)

2 影响参数分析

2.1 参数对围岩竖向压力分布的影响

由式(28)可知，影响围岩压力的主要参数有坡角、岩土参数(参数A、B、γ、σt/σc)和隧道宽度2b。为分析相关参数对浅埋段围岩压力分布的影响，首先给定一组一般的参数，如α=20°、γ=19 kN/m3、σs=12 kPa、b=4 m、A=0.2、B=0.85、σc=2 MPa、σt=0.05 MPa。

参数对围岩压力分布的影响如图3所示。坡角的增大不会增大围岩压力的峰值，但会使得在浅埋影响段范围内的土压力增大，围岩压力提前达到峰值。岩体本构参数A的增加促使围岩压力减少，缩短了浅埋段的影响范围；参数B的作用与之相反。岩土重度增大会明显增大围岩压力，但浅埋段范围明显没有前两者的影响显著。较大的抗拉强度可以提高围岩的自承能力，使得围岩压力减少。隧道断面宽度的影响较大，围岩压力随着隧道宽度的增加增长较快，且浅埋段范围增加。

(a) 坡角α(b) 参数A(c) 参数B

(d) 岩土重度γ(e) 抗拉强度σ(f) 隧道宽度b

图3参数对围岩压力分布的影响

Fig. 3 Influence of surrounding rock parameters on pressure distribution

2.2 参数对浅埋段范围的影响

由式(33)可知，影响浅埋段范围的主要参数有土体参数(参数A、B、γ)和隧道宽度2b。给定一般情况的参数组合，如B=0.7、γ=19 kN/m3、σc=5 MPa、L0=5 m、α=20°。图4示出了不同参数影响下本文提出的浅埋段理论范围随参数A的变化曲线。

(a) 参数B

(b) 土体重度γ

(c) 岩石强度σ

(d) 隧道宽度b

Fig. 4 Variation curves of tunnel parameterAat theoretical zone of shallow-buried section

由图4可知： 浅埋段距离随着参数A的增加呈近似指数下降趋势，不同岩体参数反映出来的影响程度各不相同；岩体参数B和隧道宽度b的增长均促进浅埋段有效范围的明显扩大；岩体抗压强度减小，浅埋段范围扩大，从岩体质量很好的硬岩(σc=50 MPa)到很差的软岩(σc=0.5 MPa)，浅埋段长度增加了5倍以上；土体重度对浅埋范围影响很小，可视为无明显影响；除了岩体本身的强度对浅埋段的范围有一定影响以外，隧道宽度也有显著的影响。

3 现场实测验证

Mala Trava线路段是黑山共和国境内南北高速公路的一条重要运输通道，第3标段的11#隧道(Mrkikrs隧道)全长1 902 m。以Mrkikrs隧道为例，将本文方法与实测的浅埋段围岩压力进行对比。该隧道地段地质主要由粉砂岩组成，同时夹杂着黏土层和砂岩层。图5示出了右线浅埋段剖面图和横断面图。隧道采用中隔壁法(CD法)施工，开挖面宽×高=12.485 m×8.09 m，洞口起点高程为1 070.9 m，隧道线路纵向坡度为5%。该线路段隧道的衬砌形式为初期支护喷混(钢拱架)+二次衬砌，土压力盒埋置在钢拱架外侧，紧密贴近围岩。初期支护喷混和二次模筑衬砌厚度分别为24 cm和40 cm，仰拱厚度为70 cm，图5(b)为开挖面轮廓到二次衬砌内轮廓横断面图。由于沿纵断面地势起伏变化不是十分剧烈，可以大致将浅埋段地表视为单向倾斜的，平均倾斜角约18.9°。隧道轮廓由多心圆组成，隧道拱顶由半径较大的圆弧组成，为简化分析，将隧道顶部视为水平的，取隧道半宽为横断面半宽，即b≈6.3 m，围岩平均重度γ=19.3 kN/m3。隧道坡段处围岩的平均力学参数为： 黏聚力c=12.3 kPa、内摩擦角φ=26°。令Hoek-Brown准则中B=1，即可得到相应的计算参数等效方法

τ=-σtA+Aσn=c0+σntanφ。

(34)

计算得到A=0.48、σt=0.025 2 MPa。

围岩压力监测采用的仪器是YT-200A型振弦式高精度双膜压力盒，有效测量范围为0～2 MPa，分辨率≤0.05%F·S。沿隧道断面环向分别在拱顶、拱肩和拱脚处设置了5组监测点(如图5(b)所示)，沿隧道每5 m设置1个监测断面，距离隧道洞口60 m范围内共设置了12个监测断面。选取每个监测断面在拱顶处和临近左右拱肩处的测点结果作为隧道顶部围岩压力的实测值，获得围岩压力随洞口距离的变化规律，如图 6所示。由于随着开挖步序的进行和临时结构的拆除，实测的围岩接触压力总体上呈现先逐步增加、后趋于稳定的趋势，本文选取的围岩压力测试结果为稳定后的最大值。

(a) 隧道纵剖面图

(b) 隧道横断面图(单位： mm)

Fig. 5 Profile and cross-section of shallow-buried section of right line of Mrkikrs Tunnel

图6 浅埋段围岩压力对比

Fig. 6 Comparison of surrounding rock pressure at shallow-buried section

由图6可知，围岩压力随着埋深的增加而逐渐增大。经测试得到的土压力值比围岩压力计算值略小，本文方法预测结果偏于安全。距洞口段距离超过30 m时，围岩压力达到最大值，不再随上覆土厚度发生显著变化，该规律与本文理论方法基本吻合。

4 结论与讨论

本文基于极限分析法推导了隧道浅埋段塌落体的形成范围，给出了浅埋段隧道围岩压力随位置的分布规律，并推导了基于围岩压力的浅埋段影响范围。本文方法的优点在于考虑了隧道上方覆盖层塌落体的形成机制和围岩的部分自承能力，并在塑性理论的基础上对浅埋段围岩压力进行了分析，并得到以下结论。

1)推导了浅埋段隧道塌落面的方程，塌落面的形状主要受围岩力学参数和上覆土厚度的影响。

2)得到了浅埋段隧道围岩压力在变化埋深下的分布规律。围岩压力随地表坡度、岩体重度和隧道宽度的增加而增大，随岩石抗拉强度的增大而减小。

3)分析了浅埋段的影响范围，在影响范围内的围岩压力随埋深发生变化，可以视为浅埋；超出浅埋段影响范围的围岩压力理论上趋于定值，可以视为深埋的情况。浅埋影响段范围与岩石强度和坡度有关。

限于篇幅，本文主要对均一同质的岩层做了分析，实际岩土体可能受三维效应、岩层分层和倾斜等复杂地质因素影响，相关作用机制亟待进一步研究。