基于能量法的基桩变形P-Δ效应模拟分析

杨明辉 李勇智 罗宏

摘   要：复杂荷载下基桩受力分析是桩基设计计算重要内容之一. 引入能量原理，针对基桩荷载倾斜与偏心的特殊情况，并考虑土体的成层特性，建立了三维基桩-土体系统能量控制微分方程. 在此基础上，结合不同边界条件及桩土位移条件，基于有限差分方式得出了倾斜偏心荷载下基桩位移的半解析解答，该解答可充分考虑轴向与横向荷载共同作用对基桩变形的P-Δ放大效应. 而后，开展了倾斜偏心荷载下单桩的室内模型加载验证试验. 对比结果表明，本文理论解答与试验测试结果吻合较好，较好地模拟了组合荷载下基桩变形P-Δ放大效应.最后，对影响基桩P-Δ放大效应的主要因素进行了分析，结果表明，轴、横向荷载相对大小、桩顶自由段长度、桩身刚度及浅层地基土刚度等都对P-Δ放大效应有较大影响.

关键词：单桩;倾斜偏心荷载;最小势能原理;变分原理;P-Δ效应

中图分类号：TU473.1                                            文献标志码：A

Abstract：The force analysis of piles under complex loads is one of the important contents in the design and calculation of pile foundation. In this paper， a energy control differential equation of three-dimensional pile-soil system is established according to the energy principle， considering the special case of tilting and eccentricity of pile loads as well as the layering characteristics of soils. On this basis， combined with different boundary conditions of pile and displacement conditions of pile and soil， a semi-analytical solution of pile displacement under inclined and eccentric loads is obtained based on finite difference method. The solution can fully consider the P-Δ amplification effect of pile deformation. Then， an indoor model loading test of single pile under inclined eccentric load is carried out to validate the solution. The comparison results show that the theoretical solution and the experimental test results are in good agreement， and the P-Δ amplification effect of the pile deformation under combined load is well simulated. Finally， the influencing factors affecting the P-Δ amplification effect of the piles are analyzed. The results show that the relative magnitude of the axial and lateral loads， the length of the free section of the pile， the stiffness of the pile and the stiffness of the surface soil  all have a significant impact on the P-Δ amplification effect.

Key words：single pile;inclined eccentric loads;principle of minimum potential energy;variational principle;P-Δ effect

桩基础是应用最为广泛的基础型式之一，其主要功能为承受竖向荷載，但不少实际工程中，基桩还将承受水平方向荷载，如波浪力、边坡土体推力等，因此轴、横向荷载共同作用下的基桩受力分析也日益得到重视[1-5]. 对轴、横向荷载共同作用桩基的受力计算，工程中常采用简化分析方法，即先将竖向与横向荷载分开计算，而后再按小变形迭加原理计算桩身内力和位移. 但越来越多的研究表明，二者相互影响，不仅水平荷载将使桩身产生较大的弯矩和挠曲变形，而且竖向荷载也会由于桩身挠曲变形而产生附加弯矩，即产生所谓的P-Δ效应[4-7]. 因此，如何合理考虑该效应已成为复杂荷载下基桩受力分析的关键问题.

近年来，已有大量国内外学者对该问题进行了深入分析. 根据对桩-土相互作用分析方法的不同，主要可分为2类. 第1类为Winkler地基模型. 如赵明华[4]采用m法导得了考虑桩身自重和桩侧阻力时倾斜受荷柔性桩的幂级数解;Zhang等[8]推导了考虑桩周土体屈服的轴、横向荷载共同作用高桩的弹塑性解答方法;Zhu等[9]基于传递矩阵法和Laplace变换推导了轴、横向荷载同时作用单桩响应的统一解答方法，该方法适用于任何形式桩土相互作用弹簧模型;Zhang等[10]分别采用水平弹簧和竖向弹簧来模拟桩-土相互作用，并考虑桩周土体屈服，导得了轴、横向荷载同时作用单桩响应的半解析解. 另一类为弹性连续体模型，即将土体视为均匀连续线弹性介质. 如Liang等[11]和Zhang等[12]在均质弹性半无限空间中引用Mindlin基本方程，提出了轴、横向荷载共同作用单桩内力位移的边界有限元解法. 随后，Liang等[13]在此基础上，采用最小势能原理和变分方法分析了轴向荷载对单桩水平响应的影响，并指出轴向荷载对基桩内力变形的影响与横向荷载水平及桩的长径比有关.

上述方法中，Winkler地基模型无法考虑土体连续性以及桩土之间复杂的三维相互作用，而弹性连续体模型虽然能较好地考虑土体连续性，但其求解过程过于复杂，求解耗时，需基于数值解析才能得到解答，不便于实际工程应用. 基于此，本文充分考虑桩周土体连续性、桩-土三维相互作用以及P-Δ效应，引入能量法，基于最小势能原理导得倾斜偏心荷载作用单桩桩身响应的半解析解，并开展室内小模型试验进行验证与对比分析. 最后，对影响组合荷载作用下基桩P-Δ效应的主要因素进行了探讨.

1   计算模型分析

1.1   问题描述

如图1（a）所示，基桩桩顶承受水平荷载Q0、竖向荷载P0和力偶M0 . 桩身总长度为L，直径为2R，桩顶自由段长度为L0 . 桩周土体为分为n层，每层土的厚度为Hi-Hi-1，其中H0 = 0，Hn = ∞. 桩身抗弯刚度为Ep Ip. 在实际工程中，为了保证稳定的受力状态，基桩承受的荷载水平大都较低，桩周土体为小变形情况，接近于弹性受力状态，因此为了简化计算，本文假定桩周各层土体为弹性各向同性的连续介质，其弹性模量和泊松比分别为Es，i，μs，i. 桩土体系采用柱坐标系，如图1（b）所示. 此外，假定受荷过程中桩土界面接触紧密，桩和桩周土体无相对滑动和分离.

由式（17）和式（18）形成的方程组，再加上前述？准r（r）和？准θ（r）边界条件，采用迭代计算法即可求解？准r和？准θ. 对于？准r和？准θ具体的求解过程，Basu[15]已作了极为详细的说明，此处不再赘述.

2.3   算法步骤

为了求解桩身水平位移w（z），必须知道土体参数ki和ti，这些参数与未知函数 ？准r和？准θ有关;而要求解？准r和？准θ，其系数γ1 ～ γ6又与w（z）有关. 因此，为了同时求解w（z）、？准r和？准θ，必须采用迭代的算法. 具体求解过程如下：

1）假定γ1 ～ γ6的初始值，例如都取1;

2）由γ1 ～ γ6的值求得？准r和？准θ的值;

3）由 r和 θ的值计算ki、ti的值;

4）由ki、ti的值计算得到w（z）的值;

5）根据求得的w（z）的值，重新计算γ1～γ6的值，并记为γ1new～γ6new，重复上述计算过程，直到|γ1/2/3/4/5/6new - γ1/2/3/4/5/6old|≤10-6;

6）最后一次迭代得到的w（z）值即为桩身各节点的水平位移值. 根据上述求解过程，本文基于MATLAB编制了计算程序.

3   方法验证

与现场试验相比，小比例模型试验更容易把握与控制各主要影响因素及条件，因此在机理分析问题上已被众多学者采用并证明了其有效性[17]. 鉴于此，本文以小比例室内模型试验来探讨倾斜偏心荷载下桩基的受力性能. 目前国内外对倾斜荷载下桩基受力性能试验研究主要针对于砂土地基单一地基，而对黏性土环境中或多层地基研究相对较少. 为了进一步研究倾斜偏心荷载下单桩受力性能，参考Meyerhof[1-3]等人的小比例试验模拟方法及主要参数选取原则，本次试验分别采用黏土及砂性土模拟上覆软弱地基及下卧优良持力层，选用木桩模拟实际桩体. 经过室内土工试验测量，可得桩和土体的相关参数如表1和表2所示. 图3和图4分别为本次模型试验加载示意图和模型试验照片. 为了消除试验箱中桩-桩之间的相互影响，将桩与桩之间的最小距离设为400 mm，即约为13倍的桩径，根据文献[18]基桩的最大影响范围为8倍桩径的结论，本试验可忽略桩与桩之间相互影响.

图5为当豎向荷载为757.632 N，偏心弯矩为22.491 N·m时，桩顶及地面处桩身水平位移的变化曲线. 由图5可知，本文方法所得结果与模型试验结果较为接近，而由于本文主要考虑土体弹性小变形阶段，因此本文方法结果在加载后期略小于试验结果. 同时，图5还给出了本文方法不考虑P-Δ效应时的计算结果，其与试验结果相差较大. 图6为当水平荷载为29.4 N时，桩顶及地面处桩身位移的变化曲线. 当竖向荷载小于400 N时，本文方法与模型试验结果吻合较好;而当竖向荷载大于400 N时，两者之间差值较大. 这是由于当荷载较小时，桩周土体主要表现弹性，此时理论值与实测值较为接近;而随着荷载逐渐增大，上层黏土将表现明显的弹塑性和非线性，并且塑性变形所占的比例越来越大，理论值逐渐小于实测值. 但由于实际工程中，基桩承受荷载时大都处于低荷载水平以保证结构的稳定受力状态，因此本文理论解答应用于工程实际是可行的. 同时，作为对比，图5和图6也给出了规范推荐方法，即m法的计算结果. 以图5（b）和图6（a）为例，竖向荷载757.632 N时，本文方法计算的地面处桩身位移与实测值最大相差6.9%，而m法计算结果与实测值最大

为进一步验证本文方法，下面将本文方法与文献[11]方法进行对比. Liang等[11]引用Mindlin基本方程，提出了轴、横向荷载共同作用单桩内力位移的边界有限元解法，随后采用文献[18]模型试验的数据进行了验证. 本文采用与文献[11]相同的参数进行了计算，结果如图7所示. 由对比可知，本文方法与文献[11]方法计算结果极为接近. 但与文献[11]的边界有限元方法相比，本文计算方法相对更加简单，求解效率更高，便于用于实际工程.

桩身弯矩/（102 N·mm）

4.1   竖向荷载与水平荷载相对大小的影响

图6表明，随着竖向荷载的增加，桩身位移和弯矩都增加，并且竖向荷载越大，其增加速度越快. 由此可见，竖向荷载和水平荷载的相对大小对基桩P-Δ效应起着至关重要的作用. 图8给出了不同竖向荷载和水平荷载下的桩身响应曲线. 图9给出了当水平荷载为600 kN时，不同竖向荷载下的桩身水平位移和弯矩. 由图分析可知，当水平荷载小于200 kN时，竖向荷载对桩身响应的影响较小，几乎可以忽略不计;而当水平荷载大于400 kN时，竖向荷载的P-Δ 增大效应较为明显. 这是由于当水平荷载较小时，桩身发生的挠曲变形较小，竖向荷载产生的附加弯矩也较小;而当水平荷载较大时，桩身将发生较大的挠曲变形，导致竖向荷载也会产生较大的附加弯矩. 此外，图8和图9亦可说明，当竖向荷载与水平荷载的比值小于5时，竖向荷载的P-Δ增大效应并不明显，且在本文的计算假定下，桩身最大位移和最大弯矩与水平荷载近似呈直线关系. 而当竖向荷载和水平荷载的比值大于10时，竖向荷载对桩身响应的影响非常显著，并且桩身最大位移和最大弯矩随水平荷载增加而急剧增加. 在实际工程中，作用在基桩顶部的竖向荷载通常是远远大于水平荷载的，可见，在进行桩基设计时，考虑竖向荷载的P-Δ增大效应是非常必要的.

4.2   自由段长度L0的影响

自由段长度对桩身的变形起着重要控制作用. 为了研究自由段长度的影响，分别考虑了水平荷载Q0 = 400 kN和Q0 = 600 kN时，桩身最大位移和最大弯矩随自由段长度变化曲线，同时作为比较，也给出了不考虑P-Δ效应时的情况，计算结果如图10所示. 结果表明，随着L0增加，桩身最大位移和最大弯矩都增加，并且L0和Q0的值越大，其增加速度越快. 从图10中还可看到，随着L0增加，不考虑P-Δ效应所得的桩身最大位移和最大弯矩的偏差越来越大，表明P-Δ效应对桩身响应的影响更加明显.

4.3   土体弹性模量和桩身刚度的影响

Zhang[10]和Basu[15]等人的研究表明，倾斜受荷或水平受荷基桩的水平响应主要由桩周浅层土体控制. 因此，这里重点研究上层土体弹性模量变化对桩顶位移和桩身最大弯矩的影响. 同时，为研究桩身抗弯刚度的影响，考虑了2种不同的桩身抗弯刚度，计算结果如图11所示. 由图11分析可知，随着上层土体

弹性模量增加，桩顶位移和桩身最大弯矩逐渐减小，且減小幅度越来越小，同时竖向荷载的P-Δ增大效应也逐渐减小. 此外，桩身响应受桩身抗弯刚度的影响较大，桩身刚度越大，桩顶位移和桩身最大弯矩越小，竖向荷载的P-Δ增大效应也越小.

5   结   论

本文引进能量原理，对倾斜偏心荷载作用基桩的P-Δ效应进行了模拟，并结合室内模型试验进行了验证，对其影响因素进行了分析，得出以下结论：

1）基于能量原理，建立了成层地基下三维基桩-土体系统能量控制微分方程，并结合不同边界条件及桩土位移条件，得到了倾斜偏心荷载下基桩位移的半解析解答.

2）开展了基桩承受倾斜偏心荷载的室内加载试验，室内观测结果与理论值的计算对比表明，本文理论方法可较好地模拟复杂荷载下基桩P-Δ效应，在实际工程中具有一定的应用价值.

3）对影响基桩P-Δ效应的各主要因素进行了对比分析. 计算结果表明，当竖向荷载和水平荷载的比值大于10时，该效应不能忽略;P-Δ效应随桩顶自由长度的增大而增大，而浅层地基的刚度与桩体刚度则可在一定程度上制约P-Δ效应.

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