以初中数学“分式方程”为例谈培养学生高阶思维能力的研究

广东省广州市白云区南悦中学 苏华强

一、初中数学教学中培养高阶思维能力的核心

在初中阶段，为了培养学生的数学高阶思维能力，我们可以从提出问题、明确问题、假设问题、解决问题以及检验结果的能力等方面入手。在教学过程中，教师要引导学生深入理解概念，并通过做题练习来不断强化知识的运用，再从横向和纵向两方面进行对比，最后总结、概括出解题的方法，随后验证结果是否正确，在分析题目、对比的过程中，我们需要教会学生不仅要看懂题目的表面意思，还要学会从表象中找出隐含条件，正确解题，学会揭开表象看本质。

二、以初中数学“分式方程”为例谈培养学生高阶思维能力的研究

分式方程是一元一次方程、两元一次方程组的延伸，和后面即将学习的一元二次方程是初中阶段必须掌握的四种方程，也是中考的必考点之一。考试题型大致有以下三类：（1）解分式方程，注意不要忘了验根；（2）解带有未知字母(以m 为例)的分式方程，根据题设(一般是已知解为非负数，方程无解等等)，列出关于m 的等式或不等式，求m 的值或取值范围；（3）分式方程的应用题，一般是工程问题、路程问题、销售问题、货物运输、轮船顺逆水行驶等。分式方程对于初中数学的学习而言，并不是很难的知识点。

1.分式方程

（1）分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫作分式方程。

在解方程的时候，如果产生了分母等于0 的根，那么这个根就是这个分式方程的增根。在解决这样的问题的时候，需要及时进行转化，将分式方程转化为整式方程，然后再将增根代入整式的方程当中，这样就可以求出方程的未知系数的值了，但是还需要代回分式方程，看是否解出来增根。相比而言，这样的问题具有一定的复杂性，需要开动脑筋，将复杂的问题进行简化处理，提升综合解决效率。

师：很不错，联想到了以前学习的知识点，分式方程无解应该分两种情况，只不过有的有两种情况，有的无解刚好就是增根。对于这些不同的情况，还是需要采用不同的解决方案。大家动手算一算，看一看这道题是哪种情况？

生：化为整式方程是2（x-1）=-m，方程有解，所以应该解是增根.师：好，我们再来看几道题。

点评：此题考查了分式方程的解，由分式方程转化为整式方程后，分式方程无解有两种情况：（1）整式方程无解；（2）整式方程的解使得最简公分母为0。

因此，需要分情况讨论求a 的值，还有一点同学们要注意：应当用分类讨论思想解决问题时，最后一定要有总结性的话语，通常用“综上所述”。对于这种复杂的题目，通过准确的总结，可以有效提炼出自己的观点，让整个解题过程一目了然，同时锻炼自己的归纳能力，实现学习效能的有效提升。

解析：去分母得x-m=x（m-1)，若方程无解，则有：①原方程有增根，则x=0；②原方程无解，整式方程整理得（2-m）x=m。

2.分式方程的应用

解分式方程应 用题的步骤：①审；②设；③列；④解；⑤验(二次验证)；⑥答。

例4：在一座城市的美化工程招标过程中，共有甲和乙两个工程队参与投标活动，根据测算，如果由甲工程队单独完成这项工作，需要60 天的时间，那么，如果由甲工程队前期先完成20 天的工作任务，剩下的部分则由甲工程队和乙工程队共同完成，需要24 天的时间。

（1）假设乙工程队单独完成这个美化工程，需要多长时间？

（2）假设由甲工程队先施工一天，这种情况需要3.5 万元的工程款，而乙工程队每施工一天需要2 万元的工程款。现在根据工程计划，这项工程要求在70 天内完成任务，在不超过规定的工程计划的情况下，怎样才能最节约资金，是由甲工程队独自完成？还是由乙工程队独自完成？或是最终由两个工程队工共同来完成？

师：说说你的方程。正确的，对比一下，你能说说这两个方程的区别吗？

生：第一个同学是把前20 天甲的工作总量加上甲、乙合作24天的工作总量等于整个工作总量单位1；第二个同学是分别算出在整个工作中甲、乙的工作总量，再令其和等于1。

师：很好，实际上一个是按时间划分成单独和合作两部分，一个是按甲、乙队划分成两部分。就形式来看，第二种式子看起来更易整理、更简单。

总结：

等量关系一：单独工作的工作总量+合作的工作总量=1；

等量关系二：甲的工作总量+乙的工作总量=1。

解：（1）设乙单独完成这项工程需要x 天，

则甲、乙全程合作完成该工程需付的工程款为：36×（3.5+2）=198（万元）；

甲单独完成该工程需付的工程款为：60×3.5=210（万元）；

乙单独完成需90 天，超过计划天数，不符合题意。

答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成省钱。

分式方程是初中数学中的一种非常重要的方程，我们要在分式方程方面深度挖掘，不断训练学生思维，让学生在解题的过程中提炼精华，善于总结此类问题的解决方法，从而在思维上得到一定的升华。基于此，在开展分式方程的学习与答题过程中，要充分重视到学生思维的训练，教师不能固守在传统的教学体系中，而是要顺应题目知识的变化，结合学生自身的特点，有的放矢地培养学生思维能力，注重分式方程知识体系的构建，提升学生的综合认知与接受能力，引导学生参与到知识体系中，提升初中数学综合学习效果。