一类新定义下的连续不可导的函数
2020-06-01马涛
马涛
【摘要】设f(x)是定义在[a,b]上的精致函数,有
(1)f(x)在[a,b]上的弧长无限.
(2)f(x)在[a,b]上是处处连续处处不可导的.
【关键词】函数;几乎精致;弧长
一、引 言
对处处连续处处不可导的这一类函数,古今有一些研究,大致可分为两类,第一类为维尔斯特纳斯以三角级数构造的,如下
其中,11+3 2π.这类函数偏重代数性质,忽略了几何性质.
第二类为分子布朗运动形成的轨迹,具有一定的几何性,但近似于震荡的,几何结构过于单一化了,且是随机的.
新定义的这类函数,有精致的几何结构,且在不同量级的尺度下测量,具有不同的几何结构,从而使得几何结构变得丰富多彩,使得几何结构不具有确定的答案.
其中,蕴含了分形的思想,偏重于几何结构,更在意于小量级下的结构,这和量子所处的尺度相重叠,都着重于描叙精细结构,探索微观下的性质.
二、预备知识
数列与序列:数列{an}.→:n→+∞.序列{an}.可以使得,n<+∞.
数序基础:a,b∈R ,且a≠b,那么,a,b之间必定包含R 上无穷多个数;对大于或小于关系,R 上满足完备性.
符号意义:I={1,2,3,…,n},n∈N +,称I为指标集.
A,B为任意集合,A
数量级上的比较定义:a1a2是正实数集上任意两个元素.设定‖a‖代表正实数a的数量级,等价于,n1n2.其中,a1a2,‖a1‖=10n1,‖a2‖=10n2;数量级计数表示为a=a′a,a′∈[1,10).
称Δx的值为精度.
无特殊声明外,一律在闭区间讨论.
定义1 有f(x)在[a,b]上有定义,也可以定义在(-∞,+∞)上.
给x0∈[a,b],在给定的δ>0下,∪(x0,δ)<[a,b]内.[在x=a或x=b处.考虑;∪+(a,δ)或∪-(b,δ)].
满足下述条件:
在某一点的右邻域或左邻域满足精致定义,称,该点的右边或左边是单边精致的.
除特殊聲明外,一般在∪+(x0,δ)内讨论.
存在性.
显然的,P0点精致性可以决定于尺度远远小于ε的微观结构.
证毕.
例 如布朗运动的几何结构为病态的精致函数图像,其中改变了|ai|,|ai-1|的范围,使得|ai|→+∞;|ai-1|→+∞.
定义2 变换φ称为连续形变.假如满足如下条件.
① 只对函数关系图像有效,且:变换后关系依然为函数关系.
② 变换前后,弧长(或弧面.)具有不可伸缩性.
③ 变换前后,函数关系图像都为连续的.
三、主要结论
定理1 f(x)是定义在[a,b]上的精致函数,则f(x)在[a,b]上的图像总弧长趋于无穷.
证 由定义可知,f(x)在[a,b]上是连续的,则弧长是存在的.
证毕.
直观上的反映:当弧长为有限值,分割区间长度趋于零,则分割区间上的弧长是没有阻碍趋近于零;当弧长为精致弧长,分割区间长度趋于零,则分割区间上的弧长总存在精度阻碍其趋于近零.
证毕.
以上结论表明,以精致函数图像作积分路线,被积函数正则的条件下,其第一类线路积分大多是发散的,这也是精致函数区别于一般函数的重要特征.
四、结束语
本文研究了新定义下的,处处连续处处不可导一类函数,并分析了其中一些性质,得到了一些结果,如任意子区间上的弧长无限性,任意子区间内不存在单调性,线路积分在正则条件下的发散性.
确切地说,在量子尺度的量级上更具有意义,很自然可以想到,将精致的概念进一步推广,扩展到精致曲面,以及更高维度的几何体,容易推测,它们在有限的区域内蕴含无穷大的边界.
【参考文献】
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