高中数学函数求最值的常用方法

姜洪月 郭丽

【摘要】最值问题是高考考查的重要知识点，也是高中数学题的常见题型，经常与二次函数、三角函数及不等式紧密联系.本文按六个方面分类探讨求函数最值的方法，分别是：配方法、函数的单调性法、基本不等式法、换元法、几何法.

【关键词】函数;最大值;最小值

求函数最值的常用方法有：配方法、函数的单调性法、基本不等式法、换元法、几何法、判别式法、分离变量法和导数法.

一、配方法

适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型.形如F（x）=af2（x）+bf（x）+c的函数的值域问题，均可使用配方法.

例1 求函数y=-x2+4x+2（x∈[-1，1]）的最大值与最小值.

解 y=-x2+4x+2=-（x-2）2+6.

∵-1≤x≤1，∴-3≤x-2≤-1，∴1≤（x-2）2≤9，

∴-3≤-（x-2）2+6≤5，∴-3≤y≤5.

∴函数y=-x2+4x+2（x∈[-1，1]）的最小值为-3，最大值为5.

二、函数的单调性法

当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值，若函数在整个区间上是单调的，则该函数在区间端点上取到最大值或最小值.若函数在整个区间上不是单调的，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，在求出各个小區间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值.

例2 求函数y=x-1-2x的最值.

解 ∵当x增大时，1-2x随x的增大而减少，-1-2x 随x的增大而增大，∴函数y=x-1-2x在定义域〖JB（（〗-∞，1 2〖JB）]〗上是增函数，

∴y≤1 2-1-2×1 2=1 2，

∴函数y=x-1-2x的最大值为1 2，无最小值.

三、基本不等式法

基本不等式：设a1，a2，…，an是n个正数，则有a1+a2+…an 2≥〖KF（S〗n a1a2…an，其中等号成立的条件是a1=a2=…=an.

运用均值不等式求最值，必须具备三个必要条件，即一正二定三等，缺一不可.“正”是指各项均为正数，这是前提条件;“定”是指各项的和或积为定值;“等”是等号成立的条件.

故原函数的最小值为5，无最大值.

四、换元法

对解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数.其题型特征是函数解析式中含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元;当根式里是二次式时，用三角换元.

例4 求函数y=2x+1-2x的最值.

解 令t=1-2x（t≥0），则x=1-t2 2，

∴y=-t2+t+1=-t-1 22+5 4.

则当t=1 2，即x=3 8时，ymax=5 4，无最小值.

五、几何法

某些二元函数最值问题具有图形背景，这时我们可以将所给函数表达式化为具有一定几何意义的代数表达式，再利用几何图形，对函数最值做出直观的说明和解释.

例5 求函数y=|x+3|+|x-5|的最值.

解 ∵y=|x+3|+|x-5|=〖JB（{〗-2x+2（x<-3），8（-3≤x<5），2x-2（x≥5），

∴y=|x+3|+|x-5|的图像如图所示，

由图像知：函数y=|x+3|+|x-5| 的最小值为8，无最大值.

六、判别式法

把函数转化成关于x的二次方程F（x，y）=0;通过方程有实数根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域，形如y=a1x2+b1x+c1 a2x2+b2x+c2（a1，a2不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解.

例6 求函数y=x2-x+3 x2-x+1的值域.

解 由y=x2-x+3 x2-x+1变形得（y-1）x2-（y-1）x+y-3=0，

当y=1时，此方程无解;

当y≠1时，∵x∈R ，

∴Δ=（y-1）2-4（y-1）（y-3）≥0，

解得1≤y≤11 3，又y≠1，∴1

∴函数y=x2-x+3 x2-x+1的最大值为11 3，无最小值.

总而言之，在具体题中求某个函数的最值时，首先要仔细认真观察这个题型的特征，然后再选择一个恰当的方法，一般做题时应优先考虑函数的单调性法，最后才考虑用其他各种特殊求最值的方法.