有关抛物线阿基米德三角形的三个性质

王利民

【摘要】阿基米德三角形的定义：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形.通过类比和联想，通过对赛题1和赛题2进行探究，得出了抛物线阿基米德三角形的三个性质.

【关键词】阿基米德;三角形;性质

阿基米德三角形的定义：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形.阿基米德是伟大的古希腊数学家和力学家，被后人誉为数学之神，他的著作有《论球与圆柱》《圆的度量》《论劈锥曲面体与椭圆体》《论螺线》《抛物弓形求积》等10部.阿基米德最早在著作《抛物弓形求积》中利用逼近的思想证明了有关性质：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积是阿基米德三角形面积的三分之二.笔者通过类比和联想，通过对赛题1和赛题2进行探究，得出了抛物线阿基米德三角形的三个性质，现介绍如下.

赛题1 （2014年高中数学联赛题A卷第9题）平面直角坐标系xOy中，P是不在x轴上的一个动点，满足条件：过P可作抛物线y2=4x的两条切线，两切点连线lp与PO垂直，设直线lp与直线PO，x轴的交点分别为Q，R.

（1）证明R是一个定点;

（2）求|PQ||QR|的最小值.

赛题2 （2013年福建高中数学竞赛初赛）已知A，B为抛物线C：y2=4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，l1，l2分别过点A，B且与抛物线C相切，P为l1与l2的交点.

（1）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程.

（2）设C，D为直线l1，l2与直线x=4的交点，求△PCD面积的最小值.

以上兩道赛题都是抛物线的定点和最值问题，都以阿基米德三角形为背景，不仅形式优美，结构简单，也着力考查了学生的思维能力和运算求解能力，也做到把数学史中著名定理和数学知识巧妙结合.考查了直线与抛物线的位置关系、基本不等式，也考查了化归与转化的思想，旨在考查逻辑推理和数学运算的核心素养.

赛题1中，记过点P作的抛物线y2=4x的两条切线的切点分别为A，B，则△PAB是阿基米德三角形.笔者通过对赛题1进行探究，得出：

【参考文献】

[1]方亚斌.阿基米德三角形的性质[J].河北理科教学研究，2018（3）：21-23.