近世代数课程中关于群论的教学探讨

司君如

【摘要】近世代数一直都是本科数学专业学生的一大拦路虎，很多学生会觉得困难、吃力.如何在一开始的群论学习中让学生觉得有趣、有用，从而产生学习动力，显得至关重要.本文根据近年来的教学实践，谈一谈在群论教学中的几点体会.

【关键词】近世代数;线性代数;群

近世代数是数学系学生的专业课程，它是高等代数的后续课程，与拓扑学、泛函分析一起被称为现代数学三大基石.近世代数具有抽象、概念多、以證明为主等特点，令很多本科学生望而生畏，缺乏学习热情.如何打破这种僵局，努力让这门课生动、形象、亲切，在讲授中由浅入深，帮助学生从感性走向理性，从具体走向抽象，是每位主讲教师的职责.

近世代数包含各种代数系统，其中群是最先接触的系统，也是相对简单的代数系统，群论能否学好，关乎近世代数这门课能否入门，也关乎后面的环和域等内容能否学好.群也是在各种数学分支和其他科学中涉及最多的一个概念，对有志向从事很多专业研究的学生来说，他们需要这方面的知识体系.因此，群论的讲解是重中之重，一般会占用20～25学时.在教学过程中，笔者有以下几点体会.

一、大量举例

概念教学应该从大量的实例出发，比如，在讲解群这个概念时，从熟悉的各种数集，从复变函数中的单位根，从初等数论中的模数和剩余系，从线性代数中的矩阵和线性变换，从几何中的旋转和反射，从各个数学分支去寻找例子，注意对例子的筛选和归纳整理，这里面有有限群和无限群、交换群和非交换群的区别.在讲解群的作用、等价关系等概念时，也尽量从数学的各个分支去寻找例子，做到例子丰富多样，让学生意识到这门课是对各个数学分支中的概念的高度整合，而后者也是导致这门课抽象晦涩的一个原因.

二、对称即群

德国著名数学家外尔认为“对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两个方面都意义重大，数学则是它的根本”，而数学是用群来刻画对称性的.对称的本质在于“变中有不变”，比如，平面图形的对称性，多元多项式的对称性，晶体分类问题，物理学中的各种守恒定律，带饰和面饰的分类等，这些都可以利用群来解释或解决问题.杨振宁认为“群的观念在20世纪的数学和20世纪的物理学中都发挥了巨大的作用”.在群的教学过程中，可以通过PPT给学生展示以上相关的丰富资料，或者将学生分成若干小组收集资料展开小组讨论和汇报，使学生得以开阔视野，打破常规思维，让学生明白对称远比其普通意义要深刻得多，用数学语言去描述对称以后，就与群的观念密切相关，可以说群无处不在.

三、类比联想

一个人的已有知识可以画一个圆圈表示，而每次的新的认知就是突破这个圆圈，学习的本质是联系，所以最有效的学习模式是用大量的、熟悉的知识点去消化一个全新的、陌生的知识点.在教学过程中可以有意识地在其他数学课程中寻找相近的概念和观点，尽量用已经学过的东西去联系，让学生觉得“似曾相识”，才会“倍感亲切”.比如，在讲授生成的子群时，可以类比线性代数中的生成的子空间，在讲授循环群时，可以联想一维线性空间.学过高等代数的同学知道，两个子空间的“交”仍是子空间，但是两个子空间的“并”不再是子空间，针对子群有同样的结果;进一步把两个子空间的“并”改成“和”运算才能得到新的子空间，这一点在群中采取完全一样的操作.

四、辅以图示

在群论中概念本身的表述往往不直观，初学者并不能理解，只能死记硬背，因此，在讲解中需要交代清楚概念的动机和数学公式蕴含的意义.比如，群作用定义如下：设G是群，M是集合，若存在映射.

进一步，在讲解群作用产生的轨道时，可配如下图示.

近世代数中的环和域等结构是以群为基础建构的，初学者对群结构的理解和把握直接影响后继其他代数结构的学习.本文从四个方面给出了群论教学中的一些经验之谈，当然，如何讲好群论是一个永恒的话题，是每一位授课教师要不断打磨的课题.

【参考文献】

[1]石生明.近世代数初步[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]张禾瑞.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，1978.

[3]杨振宁.对称与物理[J].自然杂志，1995（5）：247-257.

[4]顾沛.对称与群[M].北京：高等教育出版社，2013.