一组新颖数学问题的巧思妙解

江西省永修县实验学校 (330300) 叶大庆

问题是数学的心脏,问题解决是数学教育和数学学习的核心.教师在教学中应着力求增强解决问题的能力，得心应手地去应对纷繁多变的数学问题.本文旨在介绍一组新颖数学问题的漂亮解答.

又注意到a2+b2+c2=1-2ab-2bc-2ca，从而可得a3+b3+c3=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)+3abc=1-3ab-3bc-3ca+3abc，而a3+b3+c3=4，故abc-ab-bc-ca=1，所以

注1：本题求解凸显对已知条件的灵活运用.

注2：本题证明摆脱了由繁到简或由左到右的证明模式.类似可证(证明留给读者)：4sin20°+

注3：解题中恰到好处地应用基本知识(这里指的是均值不等式)有时并不容易.

例4 已知a,b,c是满足a+b+c=0和a2+b2+c2=6的实数，求证：a3+b3+c3≤6.

注4：本题求解的核心是减元.

例5 已知a,b,c,d是满足a2+b2+(a-b)2=c2+d2+(c-d)2的实数，求证：a4+b4+(a-b)4=c4+d4+(c-d)4.

证明：由已知条件得到a2+b2-c2-d2=(c-d)2-(a-b)2和a2+b2-c2-d2=ab-cd，于是a4+b4-c4-d4=(a2+b2)2-(c2+d2)2-2a2b2+2c2d2=(a2+b2-c2-d2)(a2+b2+c2+d2)-2(ab-cd)(ab+cd)=((c-d)2-(a-b)2)(a2+b2+c2+d2)-2((c-d)2-(a-b)2)(ab+cd)=((c-d)2-(a-b)2)(a2+b2+c2+d2-2ab-2cd)=((c-d)2-(a-b)2)((c-d)2+(a-b)2)=(c-d)4-(a-b)4，所以a4+b4+(a-b)4=c4+d4+(c-d)4.

注5：看准证明的大方向，剥丝抽茧，步履不乱.

注6：运用好均值不等式的关键常常在于系数的凑配.

例7 在ΔABC中，sinA=cosB=cotC，求sinB的值.

注7：本题是笔者在教学研究中所得到的结果.

令x=|a|+|b|+|c|，则x>0，x2=(|a|+|b|+|c|)2=a2+b2+c2+2(|ab|+|bc|+|ca|)=9+2·

注8：本题来源于对2019年秘鲁数学奥林匹克试题的改进：