多溶洞超大断面隧道围岩应力解析

吴红军

(中铁十二局集团第三工程有限公司， 山西太原030024)

0 引言

喀斯特地貌是我国西部地区广泛赋存的一种特殊地质环境，随着近年我国交通行业迅猛发展，特别是轨道交通的不断完善，导致在修建地铁区间及车站过程中经常遇到大量的溶洞。溶洞的存在对隧道围岩的稳定将造成极大的影响，为保障工程修建的安全性，对多溶洞超大断面隧道围岩应力的分析显得尤为重要[1-5]。

诸多学者对该问题的研究已取得相应成果。目前，关于岩溶隧道围岩稳定性的研究主要有解析法、数值模拟法。在解析法方面，PARISE等[6]、GYSEL等[7]针对有内压溶洞的岩溶隧道，对其围岩的失稳特征、隧道修建的安全厚度开展研究。王立忠等[8]给定半无限空间中孔洞椭圆化位移边界条件下的解答，为求解洞室周围的应力场和位移场提供理论基础。饶军应等[9-11]以弹性复变方法为基础，推导出2个复函数的φ1(ξ)、ψ1(ξ)的表达式，求出围岩任意点围岩应力分量的解析通式，之后该作者在原有研究基础上，进一步对双椭圆洞室无限平面内任意点的应力分量表达式进行推导，最后给出多溶腔任意点围岩应力表达式，但仅是对理论解析开展研究，未通过有效手段对解析表达式开展验证。陈鹏等[12]采用复变函数法研究浅埋三孔平行隧道围岩的平面弹性解析解，虽然研究三个洞室问题，但却仅为一种特殊情况，仍旧基于单因素开展研究，未能考虑复杂地质情况的解。易箐等[13]在此基础上推导了任意双溶洞与隧道之间相互影响的应力解析解，但未对解析解结果进行验算。在数值模拟方面，苏锋等[14]、KUMAR等[15]、李红卫等[16]结合有限元分析软件研究了溶洞位于隧道不同位置、溶洞尺寸以及隧道工程与溶洞之间净距对围岩稳定性造成的影响，虽有一定参考价值，但却缺少理论解析，并且仅研究单溶洞对隧道围岩稳定性影响，未考虑多溶洞情况。郑现菊等[17-18]以弹塑性理论为基础，利用有限元分析软件ANSYS，从围岩应力、位移、塑性区角度探究既有隐伏溶洞对隧道围岩及支护稳定性影响，虽加入了理论解析，但理论深度较浅，主要仍是依靠软件进行计算。

本文基于复变函数与积分变换，以弹性理论的平衡微分方程和相容方程为基础，对多溶洞超大断面隧道各围岩应力分量进行求解，并进一步求解出各洞室周围任意点的应力情况。最后利用有限元软件Midas GTS/NX建模分析解析解计算的模型，将数值计算结果与解析解结果对比，验证本文解析解的准确性。经过验证的解析算法可为类似工况的设计和施工提供理论参考，具有较大的工程意义。

1 平面弹性复变理论

1.1 应力场

在弹性平面区域L内，在已知边界条件的情况下，应力分量σx、σy、τxy应满足平衡微分方程(式1)和相容方程(式2)[18-19]。

(1)

(2)

式中，fx、fy分别为x、y方向的体力分量。

通过对式(1)的齐次方程进行求解后，得到σx、σy、τxy的特解：

σx=-fxx，σy=-fyy，τxy=0。

通解：

将应力分量的特解与通解相加后，得到平衡微分方程的全解：

(3)

将式(3)代入式(2)，得到应力函数的双调和方程：

(4)

式中，U为双调和应力函数。

对式(4)采用偏微分求解很难得到U的通解，故而需借助平面弹性复变理论，再具体边界条件下对具体问题进行求解。基于已有研究，可利用复变函数φ(z)、ψ(z)表明三个应力分量的关系：

(5)

(6)

式中，Re为对复函数取实部；i为虚数；φ(z)、ψ(z)为复应力函数。

最终可得各应力分量的表达式为：

(7)

(8)

(9)

1.2 平面多椭圆洞室问题

图1 有限边界多连通域计算模型Fig.1 Finite boundary multi-connected domain computing model

如果L平面为一有限多连通域，在平面内有K个椭圆洞室(C1，C2，C3，C4，…CK)和一个超大断面洞室T，如图1所示。

要求解模型中超大断面隧道的应力值，首先要知道φ(z)、ψ(z)复应力函数的数学形式，根据陈子萌[15]在围岩力学分析中的解析方法第9～14页中已给出详细推导，对于图1中有限多连通域的复应力函数φ(z)、ψ(z)的形式为：

(10)

由复变理论可进一步将单值解析函数φ*(z)、ψ*(z)表示为：

(11)

2 算例分析

2.1 工程概况

图2 计算模型简化图Fig.2 Simplified diagram of the calculation model

贵阳市轨道交通2号线北京西路站车站主体为地下二层岛式车站，采用双侧壁导洞法施工，车站长236.6 m，车站起讫里程为：DK26+074.742～DK26+311.336，有效站台中心里程DK26+171.642；车站标准段净宽度19.4 m，净高16.50 m，拱顶埋深约46～48 m，扩大段净宽度22.6 m，净高19.7 m，拱顶埋深约27～30 m。地下车站主体结构暗挖段和附属结构深埋暗挖段，场区地下车站及附属结构隧道围岩体为中风化泥质白云岩，围岩级别为Ⅳ级。车站位于贵阳盆地西侧台地地缘，原地貌类型为低山溶丘和溶蚀洼地相间地貌。

选取该区段某一岩溶较发育超大断面为研究对象，该处车站净宽度21.54 m，净高18.80 m，拱顶埋深46 m。针对不均匀分布溶腔，基于复变函数推导过程，在超大断面隧道开挖后未支护且未对溶腔处治的情况下，对各特征点的应力分量进行解析计算。计算模型如图2所示，模型计算参数如表1所示。

表1 模型计算参数Tab.1 Model calculation parameters

2.2 围岩应力计算

由于围岩的泊松比μ=0.22，可计算其侧压力系数λ：

由于本文仅计算围岩应力，故有：

选取区段隧道埋深为H=46 m，经过相应计算后易知该暗挖车站属于深埋隧道，为安全起见，围岩垂直均布压力P为：

P=YK=γh=24.2 kN/m3×48 m=1 113.2 kPa。

此时可知围岩水平均布压力λP为：

λP=XK=0.282×1 113.2 kPa=313.9 kPa。

将已计算数据代入式(10)可得：

(12)

其中：

(13)

将已推导理论公式经过求导后代入式(7)、式(8)、式(9)。针对大小、位置不同的溶洞，对每个洞室上特征点(图3)的应力分量进行计算，计算结果列于表2中。

图3 洞室特征点Fig.3 Cave feature points

表2 隧道围岩应力分量σx、σy、τxyTab.2 Stress components of tunnel surrounding rock σx、σy、τxy

表3 各溶洞围岩应力分量σx、σy、τxy

为进一步验证本文解析法的可行性，对上述工况进行数值建模分析，其网格划分如图4所示，隧道、各溶洞围岩应力分量σx、σy、τxy数值计算图如图5～图7所示，隧道、各溶洞围岩应力分量σx、σy、τxy数值计算结果分别如表4、表5所示。

图4 网格划分
Fig.4 Meshing

图5 围岩应力分量σx的数值模拟图
Fig.5 Numerical simulation of the stresscomponentσxof the surrounding rock

图6 围岩应力分量σy的数值模拟图
Fig.6 Numerical simulation of the stresscomponentσyof the surrounding rock

图7 围岩应力分量τxy的数值模拟图
Fig.7 Numerical simulation of the stresscomponentτxyof the surrounding rock

表4 隧道围岩应力分量σx、σy、τxy数值模拟结果Tab.4 Numerical simulation results of stress components σx、σy、τxy of tunnel surrounding rock

表5 各溶洞围岩应力分量σx、σy、τxy数值模拟结果Tab.5 Numerical simulation results of stress components σx、σy、τxy of surrounding rock of each cave

通过对实际工程的多溶腔超大断面隧道围岩应力开展解析法与数值模拟两种方法，分析发现：解析解的结果与数值解的结果比较接近，两者间最大的误差7.20 %，验证了本文解析法的可行性与准确性，不过两种方法的计算结果仍存在差异，其主要原因为：①数值建模时网格划分不均匀、不对称，在提取特征点计算结果时未能取到与解析解计算相同位置的点；②解析解与数值模拟在算法上也存在一定差异。

从整体来看，超大断面隧道上部溶洞(椭圆洞室1)各围岩应力分量的最大值较下部溶洞(椭圆洞室2)的更小，主要源于随着洞室埋深的增加，围岩应力逐渐增大；左侧溶洞(椭圆洞室2)各围岩应力分量的最大值较右侧溶洞(椭圆洞室4)的更大，主要原因在于左、右侧溶洞中心到超大断面隧道距离接近，随着椭圆洞室尺寸的增大，围岩应力相应增加；且左、右两侧溶洞围岩应力明显较上、下两部分溶洞围岩应力大。

从各围岩应力分量来看，在x方向上，椭圆洞室1、2、3的围岩应力σx都比椭圆洞室4的大，主要原因在于椭圆洞室4的洞室尺寸都较其他三个小。在y方向上，椭圆洞室1、3的围岩应力σy比椭圆洞室2、4的小，主要原因在于：其一，椭圆洞室1自身埋置深度较小，故围岩竖向应力较小；其二，椭圆洞室3上部存在一个已开挖的超大断面洞室，洞室上部大量岩体被挖走，岩体自重大幅度减小；其三，超大断面洞室开挖后，上部岩体形成“自然拱”效益，二者结合导致椭圆洞室3上部竖向应力减小；其四，由于超大断面隧道的开挖，使得上部岩体产生的竖向应力无法直接往下传递，只能向隧道两侧转移，这是“自然拱”效益的再次体现，故使隧道两侧椭圆洞室2、4的围岩应力大幅度增加。这也正是导致椭圆洞室2、4的切向应力大于椭圆洞室1、3的主要原因，这也进一步说明了左、右两侧溶洞围岩应力明显较上、下两部分溶洞围岩应力大的原因。

图8 各椭圆洞室围岩应力分量σx
Fig.8 Stress componentσxof surroundingrock of each elliptical cavity

图9 各椭圆洞室围岩应力分量σy
Fig.9 Stress componentσyof surroundingrock of each elliptical cavity

图10 各椭圆洞室围岩应力分量τxyFig.10 Stress component of the surrounding rock of each elliptical cavity τxy

3 结论

① 基于复变函数与积分变换，以弹性理论的平衡微分方程和相容方程为基础，推导出多溶洞超大断面隧道洞室任意点围岩应力分量的解析解；

② 基于相同计算模型，解析法与数值模拟两种计算方法的结果是比较接近，两者间最大误差7.20 %，验证了本文解析法的可行性与准确性；

③ 随着埋置深度的增加，洞室周围的竖向应力本该愈大，但由于超大断面隧道的开挖，使大部分岩体被移走，岩体自重急剧下降，故处于超大断面下部溶洞的竖向应力与其上部附近溶洞相比并未明显增大。

④ 由于超大断面隧道开挖，致使上部岩体产生的竖向应力无法直接往下传递，只能向隧道两侧转移，故使隧道两侧椭圆洞室的围岩应力大幅度增加，侧面证明左、右两侧溶洞围岩应力明显较上、下两部分溶洞围岩应力大。

本论文撰写和分析期间，得到贵州大学土木工程学院饶军应副教授的悉心指导，在此表示感谢！