Banach代数中广义Drazin逆的相关结果

郭 丽, 许小杰, 谷天瑜, 于德跃, 雷 鸣

(北华大学 数学与统计学院, 吉林 吉林 132013)

设A是复数域上有单位元1的Banach代数.对于a∈A,σ(a)表示a的谱.令A-1,Aqnil分别表示A中所有可逆元和拟幂零元构成的集合.设a∈A, 如果存在x∈A满足下列方程:

ax=xa,xax=x,a-a2x∈Aqnil,

则称a为广义Drazin逆元;x称为a的广义Drazin逆, 记为ad.如果x存在, 则唯一.记Ad表示A中所有广义Drazin可逆元构成的集合.a∈Ad当且仅当0为σ(a)的聚点.如果a∈Ad, 则令aπ=1-aad.

(1)

引理2[8]设a,b∈Ad,a2b=aba, 且b2a=bab, 则下列条件等价:

1)a+b∈Ad;

2) 1+adb∈Ad;

3)c=aad(a+b)bbd∈Ad.

此外,

定理1令a,b∈Ad, 如果abπ=a,bπa2b=bπaba,bπb2a=bπbab, 则a+b∈Ad, 且

证明： 如果b∈Aqnil, 则bd=0,bπ=1.由定理1条件可得a2b=aba,b2a=bab, 由引理2可得a+b∈Ad, 且

可以验证结论成立.

又由引理1可知a+b∈Ad, 且

由定理1, 显然有:

推论1令a,b∈A,a∈Aqnil.如果b∈Ad, 且abπ=a,bπa2b=bπaba,bπb2a=bπbab, 则a+b∈Ad, 且

(4)

推论1推广了文献[10]中定理2.3.

定理2令a,b∈A, 如果abπ=a,bπbaπ=bπb,bπaπa2b=bπaπaba,bπaπb2a=bπaπbab, 则a+b∈Ad, 且

证明： 若b∈Aqnil, 则bπ=1, 定理条件变为baπ=b,aπa2b=aπaba,aπb2a=aπbab.由推论1可知

由式(5)可知结论成立.

由矩阵形式验证知式(5)成立.

例2设A是所有3×3矩阵构成的代数, 则

显然a∈Aqnil,ad=0,bd=b, 可以验证abπ=a,bπbaπ=bπb,bπaπa2b=bπaπaba,bπaπb2a=bπaπbab, 满足定理2的条件, 但aπb2a≠aπbab.