周期系数非线性差分方程的动力学性质

曹名圆, 杨月婷, 张晏毓, 黄庆道

(1.北华大学 数学与统计学院, 吉林 吉林 132013; 2.吉林大学 数学研究所, 长春 130012)

0 引 言

差分方程在人口学、经济学和社会学等领域应用广泛, 例如: 可用于描述人口增长、种群变化等.目前, 关于差分方程的研究已有很多成果[1-16].特别地, Hu等[7]证明了方程

(1)

受上述研究结果启发, 本文考虑非线性差分方程:

(2)

1 主要结果

3) 假设α和β均不为0, 则

或

是方程(2)的二周期解, 其中:A=αβ;B=2(α-β).

证明: 1) 当α=0时, 方程(2)变为

2) 当β=0时, 方程(2)变为

3) 当α和β均不为0时, 方程(2)变为

则

(3)

或

(4)

为方程(2)的二周期解, 其中:A=αβ;B=2(α-β).

定理2当α<0,β<0时, 方程(2)有正的最小二周期解; 当α>0,β>0时, 方程(2)有负的最小二周期解.

证明: 由式(3)或式(4), 当α>β>0时, 只有如下两种情形:

1) 当A-B>0且A+B>0时, 有y2n<0,y2n+1<0或y2n>0,y2n+1<0;

2) 当A-B<0且A+B>0时, 有y2n<0,y2n+1<0或y2n>0,y2n+1<0.

类似地, 0<α<β,α<β<0或β<α<0能得到类似的结论.证毕.

为证明平衡点的稳定性, 令un=y2n-1,vn=y2n,n=0,1,2,…, 则

由平衡点定义, 方程有唯一平衡点u=v=2.

定理3当α=0时, 方程(2)有如下稳定性结果:

定理4当α≠0时, 考虑在(u,v)所有参数空间和全部相空间中方程(2)的二周期解和常数解(2,2)的稳定性; 当α>0且β>0时, 方程(2)有无界解.

证明: 首先证明方程(2)当α>0且β>0时存在无界解.

∑y2n是发散的, 且

综上, 当α>0,β>0时, 方程(2)有无界解.

下面考虑不动点u=v=2的稳定性:

当α≠0时, 根据式(3)得到二周期解, 下面给出二周期解(u,v)的稳定性.令

则

2 数值模拟

图1 差分方程解的性质随参数取值的变化Fig.1 Properties of solution of difference equation varies with parameters