双基地展开互质阵列M IMO雷达DOD、DOA降维估计算法

周 围，王 强，唐 俊，张 维

(1.重庆邮电大学 光电工程学院，重庆 400065 2.重庆邮电大学 移动通信技术重庆市重点实验室，重庆 400065)

波达方向（Direction of Arrival，DOA）估计属于阵列信号处理的范畴，主要应用于无线通信、声纳、雷达、医疗、电子对抗等领域。其主要目的在于估计出信号入射至天线的角度，进而完成测向和定位。自1979年Schmidt提出经典的多重信号分类（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法使得波达方向估计进入了超分辨时代以来，针对波达方向估计的研究层出不穷，极大地扩展了其深度和广度。

多输入多输出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）雷达［1］是2003年提出的新体制雷达，其特点在于发射阵列和接收阵列分别配置多根天线用于正交信号发射和远场信号的回波接收，并依据收发阵列是否处于同一位置而分为收发共置单基地和收发单置双基地两种形式。MIMO雷达在空间分辨率、自由度以及参数的可识别性等方面均优于传统体制雷达，因而得到了学术界更多的关注。DOA估计以及离开角（Direction of Departure，DOD）、DOA联合估计则是MIMO雷达的重要研究内容，近年来已取得了一系列重要研究成果［2-7］。

互质阵列是一种经典的稀疏非均匀阵列，由于子阵阵元间距大于半波长，因而在阵元数目受到限制下可拥有更大的阵列孔径。互质阵列较于传统均匀线阵具有以下的优势：（1）稀疏排布的阵元可实现对接收信号的欠采样，进而突破了奈奎斯特采样定理对天线阵列阵元间距的物理限制；（2）扩展的阵列孔径可有效提高分辨率以及低信噪比情况下的性能；（3）可获得远超阵元数目的自由度，从而使得该阵列结构下的估计算法具有识别更多信源的能力。文献［8］对经典的互质线阵、互质面阵以及该阵列结构下的DOA估计方法的研究进展进行了详尽介绍。基于互质阵列的DOA估计方法一般是通过两个子阵得到各自的空间伪谱，谱峰重合的位置即为真实的DOA估计［9］，得益于更大的阵列孔径，该阵列结构下的DOA估计性能更佳，但是算法需要额外的解模糊操作，即找到重合的谱峰。此外亦有学者提出无需解模糊的互质阵列DOA估计，如文献［10］提出了非圆信号下降维MUSIC算法的互质阵列DOA估计，直接使用全部阵列的接收数据构造空间协方差矩阵，最后利用降维思想得到DOA估计。展开互质阵列属于互质阵列的范畴，由文献［11］首次提出，区别于传统互质阵列的地方在于两个子阵是完全展开的状态，因而阵列孔径得到进一步的扩展，基于展开互质阵列的DOA估计方法则使用全部阵列的接收数据构造协方差矩阵，进而使用经典DOA估计算法得到波达方向估计。文献［12］利用展开互质L阵列结构对非圆信号进行DOA估计，利用信号的非圆性，可将自由度扩大至两倍，并且获得了更高的估计精度。文献［13］利用展开互质L型阵列进行二维DOA估计，可实现完全自由度，得益于扩展的阵列孔径，得到了更加精确的DOA估计。

传统互质阵列MIMO雷达结构则是将传统互质阵列分别作为收发阵列，由于更大的阵列孔径以及MIMO雷达可获得扩展的虚拟阵列，该阵列结构下的DOA估计和DOD、DOA联合估计性能均优于均匀阵列MIMO雷达下的估计。文献［14］在谈及展开互质阵列MIMO雷达的同时，给出了传统互质阵列MIMO雷达的具体结构。文献［15］则给出了展开互质阵列MIMO雷达的结构，并在该阵列下提出了combined-ESPRIT算法，直接求解闭式解得到DOD、DOA，避免了谱峰搜索使得运算量大大降低。文献［16］在该阵列结构下提出了单基地下基于MUSIC算法以及传播算子算法的DOA估计算法，得到极为优异的DOA估计性能。

本文则进一步地在文献［16］的基础上提出双基地展开互质阵列MIMO雷达DOD、DOA联合降维估计算法。首先，由于MIMO雷达可虚拟出远大于阵元数目的虚拟阵列，其次，将展开互质阵列作为MIMO雷达的收发阵列，虚拟阵列的阵列孔径得以极大地扩展。基于此，算法获得了显著提升的分辨率，自由度提高至（M+N-1）2［16］以及低信噪比下更为优异的估计性能。提出的算法首先将二维MUSIC算法中的搜索公式进行重构，随后基于降维思想，增加了消除无意义解的约束方程，并构造了基于约束条件下的求解最优值的数学描述，利用拉格朗日乘数法，构造代价函数，先行解出DOA，然后将DOA回代解出DOD。算法获得了优异的性能，具体地，算法在信噪比低至-15 dB时仍能准确识别多个信源的DOD、DOA；在信源数目高达57个时仍能准确识别每个信源的DOD、DOA；在均方根误差关于信噪比以及均方根误差关于快拍数的性能比较上，算法显著优于传统互质阵列MIMO雷达下的降维DOD、DOA估计算法，以及展开互质阵列MIMO雷达下的combined-ESPRIT算法，并且得益于降维思想无需二维穷尽搜索，因而计算量较于二维MUSIC算法大大降低。此外子阵数目的互质消除了阵元间距大于半波长可能导致的相位模糊问题，本文亦给出了无相位模糊的数学证明。

1 系统模型

双基地展开互质阵列MIMO雷达包含异地放置的发射阵列和接收阵列，其几何结构如图1所示。发射阵列与接收阵列各包含两个稀疏均匀线阵的子阵1和子阵2，两个子阵按照相反方向完全展开排列，子阵1的最后一个阵元与子阵2的第一个阵元相重合。设子阵1和2的阵元数目分别为M，N，且M，N互质，不失一般性设M＜N。子阵1阵元间距为Nλ/2，子阵2阵元间距为Mλ/2，其中λ为波长，发射阵与接收阵各自的阵元数均为M+N-1。

发射阵列和接收阵列的阵元位置可表示为

其中，d0为半波长。

现各个发射阵元同时发射同频正交的周期相位编码信号，发射信号满足条件

其中，si，sj分别是第i个和第j个发射阵元的信号，L为每个重复周期的相位编码个数。

假设存在K个互不相关的远场目标，且满足K＜（M+N-1）2，发射角度分别为φ1，φ2，…，φK，目标的回波波达角度分别为θ1，θ2，…，θK，因此发射阵以及接收阵关于第k个目标的导向矢量可表示为

其中，at1（φk），at2（φk）分别是发射阵子阵1、子阵2的导向矢量，ar1（θk），ar2（θk）则分别是接收子阵1、子阵2的导向矢量，k=1，2，…，K。发射子阵与接收子阵的导向矢量表达式分别为

因此得到发射阵与接收阵的阵列流形At，Ar如下

进而得到展开互质阵列MIMO雷达的虚拟阵列流形

其中

◦表示Khatri-Rao积，⊗表示Kronecker积。由此可得接收阵元经过匹配滤波之后的接收数据

其中，s（t）是回波信号矢量

其中，βk为第k个点目标的雷达截面系数（Radar Cross Section，RCS），fdk为第k个点目标的多普勒频率，fs为发射波形的脉冲重复频率，n（t）是均值为0、方差为σ2的加性高斯白噪声矢量。

计算空间协方差矩阵Rxx

其中，Rss=E［s（t）sH（t）］=diag［σ21，σ22，…，σ2K］是信源的协方差矩阵，σ2k是第k个信源的功率，I是维度为（M+N-1）2×（M+N-1）2的单位矩阵。实际工程应用中，空间协方差矩阵可用L个采样快拍进行估计，于是有

其中，t=1，2，…，L。

2 双基地展开互质阵列M IMO雷达DOD、DOA联合估计

2.1 基于二维MUSIC算法的双基地展开互质阵列M IMO雷达DOD、DOA联合估计算法

对空间协方差矩阵Rxx进行特征值分解

其中，Es是Rxx的K个主特征值所对应的特征向量，即信号子空间，En是［（M+N-1）2-K］个其他特征值所对应的特征向量，即噪声子空间，Us和Un分别是K个主特征值以及［（M+N-1）2-K］个其他特征值所组成的对角矩阵。根据噪声子空间与DOD、DOA对应的导向矢量的正交性，可构造二维空间谱的计算表达式

其中，a（φ，θ）=ar（θ）⊗at（φ）。K个谱峰所对应的位置即为估计出的DOD、DOA。

2.2 双基地展开互质阵列M IMO 雷达DOD、DOA联合降维估计算法

上述的基于二维MUSIC算法的双基地展开互质阵列MIMO雷达DOD、DOA联合估计算法涉及二维的穷尽搜索，因而运算量极大，在实际的测向系统中应用并不现实。针对该问题，提出了该阵列结构下基于降维MUSIC算法的DOD、DOA联合估计算法。

首先定义V（φ，θ）

对式（18）重构变形，表达为

为求得V（φ，θ）的极值点，首先增加约束条件eTat（φ）=1，其中e=［1，0，…，0］，以排除at（φ）为全0的无意义解。至此，问题转化为约束条件下求解最优解的数学问题，描述如下

按照拉格朗日乘数法求解最优值的标准方法，首先定义代价函数

其中，λ为常数，对式（21）求关于at（φ）的偏导，并使其为0

算法的步骤描述如下：

1.按照式（15）对接收信号求解空间协方差矩阵Rxx，并对该矩阵进行特征值分解，得到噪声子空间En。

2.按式（24）进行峰值搜索，K个极大值所对应的位置即为估计的DOA。

3.将步骤2中得到的DOA估计代入式（23），得到发射阵列下DOD所对应的导向矢量。

4.分别由式（26）、式（28）得到gk，ck，最后按照式（29）得到φ^k。

2.3 无相位模糊的证明

展开互质阵列MIMO雷达的发射阵列以及接收阵列的阵元间距是半波长的倍数，但是由于收发阵列的各自子阵的数目互质，可避免阵元间距大于半波长而可能导致的相位模糊问题。

由于M，N互质，根据文献［10］定理1可知，不存在这样的θak，使得式（33）成立。同样的，可证明不存在φak，进而无模糊问题得证。

2.4 复杂度分析

本文提出的算法的复杂度主要与收发阵列的数目、信源数目K、快拍数L以及搜索次数n强相关。本部分主要对比该阵列结构下二维MUSIC算法、combined-ESPRIT［15］算法、本文的降维算法的复杂度。首先，按照式（15）计算空间协方差矩阵C（M+N-1）2×（M+N-1）2，设a=M+N-1，则复杂度为La4。对进行特征值分解的复杂度为O（a6）。本文算法在进行DOA估计时使用谱峰搜索的方式，谱峰搜索部分复杂度为n［（a3+a2）（a2-K）+a2］。此外，在求解DOD的过程中只涉及轻量级的计算，因而将该部分复杂度忽略。因此本文算法总的复杂度近似为O｛La4+a6+n［（a3+a2）（a2-K）+a2］｝。同样，可分析得到二维MUSIC算法以及combined-ESPRIT算法的复杂度并将其列于表1。此外，为了更直观地表示各算法复杂度的差异，表1还给出了在搜索步进为0.01°，M=4，N=3，快拍数L为1 000，信源数K为5时，各算法乘法次数的对比。由此可知，本文算法由于避免了二维的穷尽搜索，复杂度远远低于二维MUSIC算法。在上述仿真条件下，具体的乘法次数仅有二维MUSIC算法的千分之一量级。但是本文算法仍需一维的穷尽搜索，因而其复杂度相较无需穷尽搜索、以求解闭式解为特征的combined-ESPRIT算法依旧是巨大的，combined-ESPRIT算法的乘法次数仅有本文算法的百分之一。但是需指出本文算法与combined-ESPRIT算法的复杂度上的显著差异应当归因于谱峰搜索算法，与直接求解闭式解算法存在基本原理上的差别。

表1 各算法复杂度以及某条件下的乘法次数对比

3 仿真结果分析

针对所提算法在MATLAB R2016a软件上进行了数值仿真，以验证其性能。默认仿真条件为搜索步进为0.01°，展开互质阵列以及传统互质阵列的子阵1、2的阵元数目均分别设为M=4、N=3，信源数目设为6，且6个信源的DOD、DOA角度对分别为［（-62°，-50°），（-55°，-35°），（-47°，-20°），（50°，48°），（65°，60°）］。

3.1 DOD、DOA联合估计二维图谱

信噪比SNR设置为-15 dB，快拍数L为500，其他仿真条件均为默认。分别得到展开互质阵列MIMO雷达、传统互质阵列MIMO雷达以及均匀阵列MIMO雷达下的DOD、DOA联合降维估计算法的二维图谱，如图2所示。该仿真条件下，展开互质阵列MIMO雷达下算法可准确识别DOD和DOA，同时均匀阵列MIMO雷达下的估计已经基本无法得到正确估计，而传统互质阵列MIMO雷达下的估计亦能够识别DOD、DOA，但精确度不及展开互质阵列MIMO雷达下的算法。

进行多信源数的空间谱图的仿真，其他条件不变，子阵1、2的阵元数目分别设为M=7，N=5，信噪比设为0 dB，信源数设置为57，DOD以及DOA均设为在［-70°，70°］上以2.5°等间隔分布。得到空间二维图谱如图3所示，可见算法几乎能够准确识别每个信源的DOD、DOA。

3.2 均方根误差仿真

本部分对比双基地传统互质阵列MIMO雷达DOD、DOA联合降维估计算法，双基地展开互质阵列MIMO雷达DOD、DOA联合降维估计算法以及文献［15］combined-ESPRIT算法的均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）。均方根误差的计算公式如下RMSE=其中，G是蒙特卡洛实验次数，φ^k，i是第i次对φk的估计值，θ^k，i是第i次对θk的估计值。

3.2.1 均方根误差随SNR的变化关系

快拍数设为1 000，其他仿真条件均为默认。每个信噪比下进行100次蒙特卡洛实验，得到RMSE关于SNR的变化关系如图4所示。可见本文算法在信噪比较低时显著优于其他两种算法，在SNR低至-14 dB时RMSE可达到小于0.2°，而combined-ESPRIT算法的RMSE几乎达到了0.9°。在信噪比较高时，本文算法仍具备明显优势。所以在RMSE关于信噪比变化中本文算法全面优于其他两种算法。

3.2.2 均方根误差随快拍数的变化关系

设置信噪比SNR为0 dB，其他条件为默认。同样地，在每个快拍数下进行100次蒙特卡洛实验，得到RMSE随快拍数的变化关系，如图5所示。可见本文算法RMSE在快拍数由100升至1 000的过程中均明显优于其他两种算法。同样可见本文算法的RMSE在快拍数大于300以后对快拍数的进一步提高已不再敏感。

4 结束语

本文针对双基地展开互质阵列MIMO雷达下的DOD、DOA联合估计进行了深入的研究。首先，该阵列结构将展开互质阵列作为MIMO雷达的收发阵列，获得了大幅扩展的阵列孔径，其次MIMO雷达能够获得远超实际阵元数目的虚拟阵列，这在提高算法估计精度的同时亦使得自由度大幅提高，达到（M+N-1）2。基于该阵列，提出了基于降维MUSIC算法的DOD、DOA估计方法。该算法下DOD、DOA自动配对，且子阵间距大于半波长可能导致的相位模糊问题可由子阵数目互质得以消除。该算法获得了显著提升的分辨率、自由度以及低信噪比下更为优异的估计性能。仿真结果表明算法在信噪比低至-15 dB时，对6个信源的估计仍有着优异的估计性能，在识别信源数目高达57个的场景下亦优势明显。在均方根误差关于信噪比以及均方根误差关于快拍数的性能比较上，算法亦显著优于传统互质阵列MIMO雷达下的降维DOD、DOA估计算法以及展开互质阵列MIMO雷达下的combined-ESPRIT算法。基于上述仿真实验可得出结论，算法的估计性能全面优于传统互质阵列MIMO雷达下的估计算法以及文献［15］中的combined-ESPRIT算法。但是，值得说明的是本文算法优于combined-ESPRIT算法是在复杂度呈指数级提升的前提下获得的。