不等式专题复习预测及求解策略

学马进

一、不等式复习预测

不等式是中学数学的基础和重要部分，是高等数学的重要工具，它可以渗透到中学数学的很多章节，加之它在实际生活中的广泛应用，决定了它将是永不衰退的高考热点.

主要内容有线性规划、基本不等式、不等式的性质、不等式的证明、不等式的解法、含绝对值的不等式以及不等式的应用，考查的基本数学方法和数学思想主要有：比较法、分析法、综合法和等价转化、分类讨论的数学思想.

在题型方面选择题、填空题和解答题均有可能，选择题、填空题中常考查不等式的性质、比较大小、解简单的不等式及不等式的简单应用;在解答题中，主要考查：解不等式（特别是对含参数的不等式进行分类讨论）、不等式在实际生活中的应用、用不等式研究函数性质、方程根的讨论.从难度上看，基础题、中档题、高档题均有可能在考题中出现.

在考查基础知识的同时，将会考查考生的数学能力，特别是逻辑推理能力.命题时往往将不等式与集合、函数等综合出题，这类问题立意新颖，抽象程度高，能很好地考查考生的辑推理能力和数学运算能力.

从高考内容上来看，不等关系、不等式的性质及应用、一元二次不等式的解法及三个二次间的关系问题、求二元一次不等式（组）表示的平面区域的面积问题、求目标函数的最值及简单的线性规划实际应用问题、利用基本不等式求最值问题是命题的热点.

着重突出考查对不等式性质的灵活运用、二次不等式的解法、平面区域的画法及目标函数最值.客观题突出变形的灵活性，主观题在考查基本运算能力的同时又着重考查数形结合思想、化归转化思想、分类讨论思想的应用，有时与充要性的判断交汇命题.

二、不等式预测题解析

题型一：不等式与集合

例1.已知集合A={ x|1≤2x<8}，B={ x | ■

A.（-1， 3）      B. [0， 3）      C. [0， 2]      D.（-1， 2]

【分析】本題主要考查集合的运算、解对数不等式、指数不等式，考查考生化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.

【解析】由1≤2x<8，得0≤x<3，所以A={ x|0≤x<3}.

又■

所以A∩B = [0， 2]，故选C.

【变式】已知集合A={ x| x2-2x-3<0}，B={ x | ■≤1 }，则A∩（CR B）=________.

【解析】由x2-2x-3<0，得 -1

又■≤1，得x≥4或x<0，所以B={ x | x≥4或x<0}，

所以A∩（CR B）=（0， 3].

【点评】解决此类题的关键一是化简集合，如本题中通过解一元二次不等式、分式不等式、对数不等式和指数不等式达到化简集合的目的;二是借形解题，有关集合之间的补集、交集、并集问题，需对集合相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，通过观察集合之间的关系，借助数轴寻找元素之间的关系，使问题直观准确地得到解决.

题型二：线性规划

例2.设z=2y-2x，式中x，y满足条件0≤x≤1，0≤y≤2，2y-x≥1，求z的最大值和最小值.

【分析】本题主要考查线性规划问题，考查考生的运算求解能力以及数形结合能力，考查的核心素养是数学运算、直观想象.

【解析】作出满足条件的可行域.作直线l：y=x+■（如图）.

当直线l过点A（0， 2）时，z取得最大值;当直线l过点B（1， 1）时，z取得最小值;∴ zmax=2×2-2×0=4;zmin=2×1-2×1=0.

【变式】已知实数x，y满足0≤x≤1，0≤y≤2，2y-x≥1，若不等式（a-1） x- y+a-1≥0恒成立，则实数a的最小值是_________.

【解析】不等式（a-1）x-y+a-1≥0恒成立，即a≥■+1恒成立 .

由图可知，■≤■≤1，所以a≥2，

所以要使得不等式（a-1）x-y+a-1≥0恒成立，实数a的最小值是2.

【点评】作二元一次不等式组表示的平面区域的方法：直线定边界，分清虚实;选点定区域（常选坐标原点）.求线性目标函数的最值的一般步骤：一画、二移、三求，关键是准确作出可行域，准确理解目标函数的几何意义.

题型三：不等式选讲

例3.已知关于x的不等式 | 2x-1| + |3x-8|≤6的解集为

{ x|m≤x≤n}.

（1）求m+n的值;

（2）求■+■的最大值.

【分析】本题考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题、基本不等式，考查运算求解能力、分类讨论思想等，考察的核心素养是逻辑推理、数学运算等

【解析】当x <■时，不等式即为 -（2x-1）-（3x-8）≤6，解得x≥■，矛盾;

当■≤x ≤■时，不等式即为（2x-1）-（3x-8）≤6，解得x≥1，所以1≤x ≤■;

当x >■时，不等式即为（2x-1）+（3x-8）≤6，解得x≤3，所以■≤x ≤3.

所以，实数x的取值范围是1≤x ≤3，即m+n的值为4 .

（2）由（1）知，m=1，n=3，

所以■+■=■+■≤2■=2■，

当且仅当12-3t=3t，即t=2时，取“=”，

综上，■+■的最大值为2■.

【变式】对任意实数m，不等式 | m-3 | + | 2m+1|≥ | 2x-1 | +

| x+2 |  恒成立，求实数x的取值范围.

【解析】设f（m）= | m-3| + |2m+1|，即f（m）=

-3m+2， m<-■m+4， -■≤m≤33m-2，  m>3

所以f（m）的最小值为■，所以 | 2x-1| + | 3x-8 |≤■.

当x<-2时，不等式即为 -（2x-1）-（x+2）≤■，解得x ≥ -■，矛盾;

当 -2≤x≤■时，不等式即为 -（2x-1）+（x+2）≤■，解得x ≥-■，所以 -■≤x≤■;

当x >■时，不等式即为（2x-1）+（x+2）≤■，解得x ≤■，所以■

综上，实数x 的取值范围是 -■

【点评】利用零点分段法解含绝对值不等式以及不等式恒成问恒成立问题的转化，利用基本不等式求函数的最值.

线性规划、解一元二次不等式、指对数不等式、分式不等式、绝对值不等式及恒成立问题是高考的热点.备考时应熟练掌握用图象法求解一元二次不等式的步骤，理解分式不等式转化为一元二次不等式的等价过程，能利用函数单调性解指对数不等式，会利用分离变量法来处理恒成立问题，熟练掌握分类讨论的思想解决含绝对值的不等式.

责任编辑 徐国坚