基于伯努利方程对纸飞机飞行距离尽量远投掷出手角度的研究

高海清 杨曜莉

摘要：如何让纸飞机飞行的更远，这一问题，一直是纸飞机爱好者正在追寻的，纸飞机的飞行距离往往受多种因素的影响，比如投掷者的心理因素，天气状况，投掷者使用力的大小，由 John Collins制作的名为 Suzanne的纸飞机，飞行距离长达 69米之多，本文将探索投出手以何种角度，以使飞行距离尽可能远。

关键词：伯努利方程;飞行距离;投掷角度

前言

从儿时就玩过纸飞机的我们，总喜欢哈一口气，然后扔出纸飞机，纸飞机就像是承载了我们的祝福，飞的很高很高，后来，我们才明白，哈气后的纸飞机头部会覆盖一层水膜 ，从而形成膜效应，这样会使纸飞机在飞行时与空气的磨擦系数变得很小，空气阻力小了，纸飞机自然就飞的远了。

1. 模型假设

基于纸飞机飞行环境的有效性，对纸飞机飞行时做出如下假设：

（1） 假设纸飞机在顺风情况下飞行

（2）假設纸飞机的制作材料和纸张大小一样，210mm×297mm每平方米纸70克

（3）假设折叠纸飞机时手指干燥，干净

（4）假设折叠的纸飞机所有折痕一次成功

（5）假设机翼、机尾折叠对齐

（6）假设扔不同纸飞机的手用力大小一样而且适中

2. 符号说明

①M ：一个纸飞机的质量 ②v ：流体的速度 ③h ：铅垂高度 ④C ：常量 ⑤a ：扔出纸飞机时与水平所成夹角 ⑥F 推 ：扔纸飞机者用的力 ⑦G ：纸飞机在空气中所受的重力大小 ⑧K：空气阻力与速度的相关性系数 ⑨V0 ：扔纸飞机时纸飞机具有的初速度 ⑩t ：纸飞机飞行时间。

3.模型建立

3.1运用伯努利方程模型解决纸飞机投掷出手角度问题

3.1.1伯努利方程模型简介

流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。

3.1.2利用伯努利方程分析纸飞机速度与压强的关系

根据伯努利方程，可以得出，流动中速度增大，压强就减小;速度减小， 压强就增大;速度降为零，压强就达到最大。纸飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强大，上翼面速度高而压强小 ，上下的压强差，使纸飞机向上飞，因而合力向上。

3.1.3根据速度与压强的关系分析水平抛出飞机在空中受力状况

当扔飞机者以一定扔出纸飞机时，纸飞机受到人给他的推力，在空气中受到空气阻力，受到向下的重力，向上的举力。

竖直方向第一阶段：

速度和加速度同向，都向上，速度增加，加速度减小。

纸飞机在飞行时，由于竖直方向上具有上的初速度，因此在竖直方向上纸飞机会向上飞行，此时，加速度a和速度v都向上，因此纸飞机在竖直方向上的速度v也会不断地增加，由伯努利方程可以知道，这个时候纸飞机下方的空气流速也在增大，纸飞机上下方的压强差在不断的减小，因此纸飞机在竖直方向的加速度 a是减小的。

竖直方向第二阶段：

速度和加速度反向，加速度向下且增加，速度向上且减小。

一直到纸飞机的上下压强差小于纸飞机的重力时，这个时候，纸飞机的加速度 a在竖直方向上不再向上，改为向下，这个时候纸飞机在竖直方向做速度与加速度反向，并且反向加速度a逐渐增大，因此在这个阶段，速度 v会向上但是不断减小，直到速度 V=0 竖直方向第三阶段：

速度和加速度同向都向下，且都不断增加。

当速度 v=0的时候，纸飞机受到的空气的压力增大，此时速度和加速度都向下，纸飞机在竖直方向上开始做竖直向下的加速运动，这也就意味着，纸飞机离快要落地不远了。

3.1.4计算纸飞机在空中飞行的时间并得出结论

通过一系列的分析计算可以得出，纸飞机的飞行距离受多个因素的影响，飞行前的初始速度、推力的大小，空气中的摩擦力，推力与水平方向所成的夹角，都会影响纸飞机的飞行距离，我们将研究在其他变量一定时，通过改变扔纸飞机者与水平方向所成夹角， 进而让纸飞机飞行尽可能远的距离。

所以为了让飞行距离X足够大，在初始速度 V0一定的情况下只要让（kv0^2-F推 cosa） 足够小就可以，只要让F推 cosa足够大就可以，当F推一定时，cosa足够大，由 cosa 的图像变换公式，可以得出，当 cosa=0时，cosa最大，因此，可以得出结论，当其他条件一定时，水平抛出，纸飞机飞行的距离尽可能远。

3.1.5伯努利方程的推广

世界上最远的风筝是苏珊纸飞机，飞行距离为 226 英尺 10 英寸，也许你会觉得这个距离不是很远，但是要知道当年莱特兄弟第一次开纸飞机时，飞行距离是 36米，如何让纸飞机飞行的更远，一直是纸飞机爱好者不断探索的问题，但是让纸飞机飞行的更远，与许多因素有关，比如扔纸飞机者的心理素质，扔纸飞机的高度，扔纸飞机的角度等等，本文通过伯努利方程模型的建立，为今后扔纸飞机的应用了提供了很好的理论依据。

参考文献：

[1]伯努利方程 https：//baike.so.com/doc/5355750-5591223.html2019年 4月 2日.

[2]王惠民 流体力学基础 出版地：清华大学出版社，2005-10-1：105.