常微分方程大观

巴英

摘 要：常微分方程定位于数学专业课程中的基础课，属于应用型的学科。本文详细介绍了该学科的特征、发展史、实用性以及和其它学科的紧密联系，以期最大程度地辅助教学。

关键词：常微分方程;通解;特解;奇解;初值问题

1 常微分方程是怎样的一门学科

从传统的代数方程出发，到超越方程，再到隐函数方程，对应于方程的解，则从有限的个别数值，到离散的无穷个数值，再到解为连续的函数，可以说复杂化程度越来越高。

更加一般化的方程，是含有自变量、未知函数以及未知函数的导数的方程，称之为微分方程。有统计数据显示，在获得诺贝尔奖的自然科学家中，他们的论文中有20% 用了微分方程作为解决问题的工具，可见微分方程应用之广泛。在微分方程中，如果自变量的个数只有一个，即是常微分方程。常微分方程的通解，已经不再是单一的函数，而是函数族，它含有独立常数，而且独立常数的个数与方程的阶数一致。

总体而言，常微分方程属于数学分析这一分支基础上的学科，同时也定位于众多数学与应用数学专业课程中的基础课。

2 常微分方程的发展史

常微分方程大约有三百年左右的历史，理论上几乎和微积分同步，但雏形甚至比微积分还略早一些。直到18世纪中期，它才成为一门独立的学科。

从时间跨度上进行划分，大约把常微分方程的发展分为一下几个阶段：

2.1 17世纪前后

当牛顿和莱布尼兹奠定微积分基本思想的同时，就已经正式提出了常微分方程。事实上，牛顿作为一个伟大的物理学家，他发现的很多定律本质上都是常微分方程，比如动力学中的万有引力定律、牛顿第二定律以及热学中的牛顿冷却定律等等，全部可以用一阶或二阶的常微分方程表示出来。物理学里，还有相当多的定律也都类似，比如电学中的基尔霍夫第二定律，以RLC振荡电路为例，最后就是划归为一个二阶常系数齐次线性方程。

常微分方程与物理学有如此渊源，以至于美国数学家M.克莱因曾经这样总结，常微分方程是17、18世纪时在直接回答物理问题过程中兴起的 。

2.2 17到18世纪

这个阶段，常微分方程的中心问题就是寻求通解表达式，很多大数学家投入其中。比如贝努力得到了分离变量法和换元法，分离变量法成为解决常微分方程最基本的方法，而换元法拓展了新的可积类型。欧拉则给出了积分因子法，这个方法理论上可以统领已有的解一阶方程的方法;此外欧拉还解决了常系数齐线性方程的求解问题，这是整个常微分方程解决最彻底之处，从通解结构到具体演算堪称完美，而以欧拉名字命名的欧拉方程，本质上是非线性的，仅仅通过变量替换就转化为线性方程了;另外欧拉折线法，虽然未达到数学分析严格化的标准，但却为以后的解的存在性论证以及数值计算提供了重要途径。达朗贝尔论证了非齐次线性方程的叠加原理。拉格朗日发现了常数变易法，这个常微分方程自身特有的方法横贯学科全程。克莱罗给出了全微分方程的充要条件，也讨论了奇解，尤其是以自己名字命名的克莱罗方程，其通解和奇解都非常特殊。

17到18世纪，作为常微分方程发展的起步阶段，数学家的工作基本停留在追求初等解上，所能解决的常微分方程类型不可避免地有局限性。

2.3 19世纪

随着时间的推移，数学家们逐渐感受到能够初等积分法求出方程精确解的情况越来越有限。1841年，刘维尔证明了黎卡提方程

一般情况下不能用初等积分法求解，而该方程属于最简单的一类一阶非线性方程。这一结论，某种程度上类似于代数学里，伽罗瓦证明五次和五次以上的代数方程一般情况下没有根式解，伽罗瓦的工作对于代数学的影响是里程碑式的，它结束了求根公式的系列梦想，同时开创了新的学科抽象代数。刘维尔的结论在常微分方程领域里，同样产生了深远的影响，数学工作者的注意力不得不由初期的初等解，转而寻求方程的近似解，于是常微分方程的近似计算和定性研究诞生。恰在此时，数学分析正在经历严格化运动，数学分析严格化的代表人物柯西首先给出了常微分方程初值问题解的存在唯一性定理证明，开创了用复变函数论研究常微分方程的先河，解析理论由此诞生。

19世纪，属于常微分方程理论基础得到奠定和夯实的阶段。

2.4 20世纪前后到现在

19世纪后半叶到20世纪初，常微分方程的核心问题在于定性理论和稳定性理论，其代表人物是庞加莱和李雅普诺夫。其中，庞加莱的论文《微分方程所定义的积分曲线》侧重于利用几何和拓扑的观点探讨问题，李雅普诺夫的論文《运动稳定性的一般问题》则偏重于用严格的分析方法研究解的稳定性。这一切，为常微分方程的后继发展的两个大方向打造了模板。

德国数学家希尔伯特曾经提出过经典的二十三个数学问题，其中第十六个问题是关于定性理论中的极限环个数的研究，这对定性理论的发展起了极大的促进作用。20世纪30年代，由于战争的需要，迫使无线电技术亟待更新拓展，极限环（孤立的周期解）理论获得最新的实际应用。

20世纪初，伯克霍夫开创了新领域动力系统理论，20世纪中叶后得到蓬勃发展。此外非线性振动理论、变换群理论等等在这个时期也得到发展。20世纪60年代，计算机技术加入，常微分方程的发展迎来新时期。这个时期和常微分方程关联的重大发现有混沌和孤立子。洛伦兹方程关于混沌现象的结论引起巨大振动，孤立子探讨则将常微分方程可积性的研究推向高潮。

3 常微分方程的边缘理论和交叉学科

常微分方程理论并非孤军奋战，一旦和其它领域的学科结合起来，便迅速演绎出了许多新的边缘理论和交叉学科。从常微分方程出发，我们会去触碰随机微分方程、泛函微分方程、脉冲微分方程、广义微分方程、以及时标微分方程。和生物学结合，便有了种群生态学。分支理论和各种控制论的由来也是异曲同工。

4 常微分方程的实用性

既然常微分方程诞生于回答物理学问题，那么它注定会广泛地应用于物理学中。事实上，采用无穷小方法研究物质运动变化规律的，建立数学模型后很多都归结为常微分方程。于是，常微分方程的求解理论和方法，同样还能够应用于许多其他学科，比如工程技术科学、生物学、经济学、社会学、化学、医学甚至艺术等等。1967年，卡内基-梅隆大学的科学家们，利用常微分方程计算出放射性元素的半衰期，然后通过油画颜料成分的比对，科学地鉴定出油画的真伪。2002年，西安交大马知恩教授的团队，根据北京和太原的非典临床数据，建立数学模型，根据常微分方程的定性理论，成功地得到和事实十分接近的结论。

5 结束语

可以确定的是，在未来世界里，常微分方程仍将是不可或缺的角色。让我们重视常微分方程的理论研究，进一步深入地推动它的实际应用，以便它能更好地、更广泛地为其它学科所用，从而造福人类。

参考文献

[1]王高雄等.常微分方程（第三版）[M].高等教育出版社，2006.

[2]M.克莱因.古今数学思想[M].上海教育出版社，1985.

[3]钱详征.常微分方程解题方法[M].湖南科学出版社，1984.