基于n阶GBT热-机载荷作用下FGM梁的振动特性和稳定性分析

蒲育 周凤玺

摘要：研究了热一机载荷耦合作用下弹性地基FGM梁的振动特性与稳定性。考虑到材料的物性依赖于温度变化且组分沿梁厚按幂律分布。首先，基于一种扩展的n阶广义剪切变形梁理论（n-th GBT），应用Hamilton原理，统一建立了系统自由振动及屈曲问题力学模型的控制方程，采用一种改进型广义微分求积法（MGDQ）获得FGM梁静动态响应的数值解。其次，通过算例验证GBT的有效性并给出阶次n的理想取值，在丰富梁理论的同时，也可验证或改进其他各种剪切变形梁理论。最后，讨论并分析了升温、边界条件、初始轴向机械载荷、梯度指标、地基刚度、跨厚比等诸多参数对FGM梁振动特性和稳定性的影响。

关键词：热一机载荷;FGM梁;振动特性;稳定性;n阶GBT

中图分类号：0343.6;0326 文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）01-0064-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.01.007

引言

功能梯度材料（FGM）作为一种新型的非均匀复合材料，其设计的初衷是作为航天飞机表面涂层的一种热应力缓和材料，FGM能实现结构或构件不同部位对材料功能的不同要求，因其可设计性、耐高温、耐磨损、抗腐蚀等方面的优良特性，在航空航天、机械、生物医疗、核能等工程领域具有广阔的应用前景。FGM梁作为诸多工程领域中广泛使用的结构形式之一，其静动态响应一直备受人们关注和重视。因此，FGM梁的振动特性与稳定性一直是近些年学者们研究的热点和前沿课题。

针对FGM梁在常温环境中工作，许多学者在这方面围绕其振动特性和稳定性开展了一系列研究工作。例如，Chen等基于二维线弹性理论，将微分求积法（DQM）与状态空问法（ssM）相结合，数值研究了弹性地基FGM梁的自由振动。Huang等分析了FGM圆形截面简支梁的临界失稳，得出了临界载荷和临界应力的精确解。魏东等采用矩阵传递法数值研究了含有裂纹功能梯度材料Euler（CBT）梁与Timoshenko（FSBT）梁的屈曲问题。Simsek建立了6种高阶剪切梁理论下FGM梁自振的Lagrange频率方程，讨论了不同梁理论对频率的影响。Thai等首次以軸向位移、弯曲挠度及剪切变形挠度为基本位移函数，采用Navier法分析了4种高阶剪切理论下FGM简支梁的频率特性，所采用的位移场描述方法可直接量化并揭示剪切变形的影响。本文也采用该方法描述梁变形的位移场。Li等根据控制微分方程解的相似性导出了功能梯度CBT与FSBT梁的频率及Levinson梁临界载荷的精确解。Pradhan等采用Ritz法讨论了不同梁理论对FGM梁频率的影响。Kahya等建立了功能梯度FSBT梁临界失稳及自由振动问题的有限元模型。但在文献[1-11]的研究中均未考虑温度的影响。

初始轴向机械载荷、温度或其他因素的变化使得FGM梁产生初始轴力而改变其振动特性和稳定性。而FGM梁在高温环境中具有显著优势，随着近些年FGM梁广泛应用于高温工况，研究其在热载荷作用下工作时的振动特性、稳定性及热冲击等静动态响应显得尤为必要，但这方面的研究相对较少。例如，赵凤群等采用WDQ法分析了切向随从力和热载荷共同作用下功能梯度CBT梁的稳定性及振动特性。针对材料关于梁的几何中面对称分布，Mahi等导出了非线性升温FGM梁自由振动响应的精确解。Pradhan等考虑了材料物性随温度的变化，应用DOM数值研究了变弹性地基FGM欧拉夹层梁的振动特性。文献[15-16]均采用Reddy型三阶剪切梁理论（TBT），先后应用Ritz法和SSM分析了热环境中FGM梁的振动特性和稳定性。此外，李世荣等采用DQM得到了功能梯度FSBT梁在瞬态热冲击下的动态响应。最近，张靖华等采用辛方法探讨了FGM欧拉梁在热冲击下的动力稳定特性。

综上所述，目前针对FGM梁静动态响应的研究主要基于不同的梁理论或采用不同的分析方法。频率和临界载荷两者都作为反映梁整体力学行为的量，都需要求解特征值问题，而临界温度同时关乎这两种力学行为，它对FGM梁的安全设计和功能设计具有重要指导意义。但已有文献对这两种力学行为关联的探索不够充分，且这方面的研究报道目前极为少见。

本文将2013年Xiang等提出的n阶剪切变形板理论扩展为一种广义剪切梁理论（GBT），基于n阶GBT，统一建立了热一机载荷耦合作用下弹性地基FGM梁的自由振动和屈曲方程。通过算例验证，讨论并给出了GBT阶数n的理想取值。采用一种改进型广义微分求积法（MGDQ）获得数值解，着重讨论并分析了诸多因素对FGM梁振动特性及稳定性的影响，尤其刻画了临界升温值与频率和临界载荷的关联，由此得出一些有益的结论。

1模型的控制方程

1.1问题的描述

考虑一长宽高分别为L×b×h的FGM弹性地基梁，z轴沿轴线方向，y轴和z轴分别沿梁的宽度和厚度方向，xoy面为梁的几何中面。假设Wink-ler-Pasternak弹性地基刚度分别为kw和kp梁受初始轴向机械载荷为P（假设压力为正），温度T沿梁厚度方向稳态分布，上表面为纯陶瓷，下表面为纯金属，材料的物性随温度变化且按幂律连续分布。材料的物性参数（弹性模量E，泊松比u，热膨胀系数a，热传导率K，密度p）与坐标Z和温度T满足

4结论

本文基于n阶GBT，探讨了热一机载荷作用下弹性地基FGM梁的振动特性和稳定性。数值结果表明：

（1）扩展的n阶GBT可退化为3种常见的梁理论，GBT退化而来的CBT即使对短梁而言，也能获得较为满意的预测结果。若采用高阶剪切梁理论模型，宜取n≥3的奇数。因此，GBT适用范围广、具有重要的理论和工程应用价值。

（2）采用的MGDQ法行之有效，通过引入边界控制参数，可统一编写3种边界梁的计算程序，具有简便、易操作、工作量小等优点。

（3）通过量化并分析诸多因素或参数对FGM梁振动特性及稳定性的影响，可供FGM梁在较为复杂工况下的安全设计和功能设计提供必要的理论依据和应用参考。