复杂边界条件圆柱壳自由振动特性分析

李海超 庞福振 李玉慧 缪旭弘

摘要：提出一种半解析法来分析圆柱壳结构自由振动特性。将圆柱壳壳结构在轴向方向分解为若干壳段，用沿轴向的Jaeobi多项式和沿周向的Fourier级数来表示各个壳段的位移函数，并采用罚参数法对圆柱壳结构的边界条件和壳段问的连续性条件进行模拟;最后，基于Rayleigh-Ritz法求得圆柱壳结构的自由振动频率。研究表明，该方法具有较好的收敛性，与公开发表文献一致性较高，研究成果可为复杂边界条件下圆柱壳结构自由振动特性分析提供数据积累和方法依据。

关键词：自由振动;圆柱壳结构;弹簧参数;半解析法

中图分类号：0326;TB123 文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）01-0056-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.01.006

引言

圆柱壳结构因具有良好的结构性能，在民用机械、船舶、高铁、航空航天等各个领域应用广泛。因此，开展圆柱壳结构自由振动特性分析研究，获取圆柱壳结构复杂边界条件下典型特征频率，对指导相应的工程应用具有重要的意义。在此研究方面，孙述鹏通过解析分析与数值计算相结合的手段，研究了转动薄壁圆柱壳的行波振动固有特性和响应特性。周海军通过引人波传播方法，解决了圆柱壳弹性支撑边界自由振动的求解问题。sheng等建立了一个理论模型来研究加热功能梯度圆柱壳在热环境下的动力学稳定性和非线性振动。Xing等提出了Donnell-Mushtari壳理论圆柱壳自由振动的精确解。Wang等基于改进傅里叶方法，开展了中等厚度开口圆柱壳自由振动特性分析。李文达等基于Love壳体理论，对功能梯度圆柱壳自由振动行波特性及边界约束影响进行了分析。Lee和Kwak基于Ray-leigh-Ritz法开展了一般边界条件下圆柱壳结构自由振动特性分析，并将不同理论计算结果进行了对比，总结了各个理论方法的优缺点。Ni等基于哈密顿原理开展了一般边界条件下功能梯度圆柱壳自由振动特性分析。陈旭东等采用动力刚度法开展了中厚圆柱壳自由振动特性分析。

由以上分析可知，现有文献基于数值预报法、改进傅里叶法、Rayleigh-Ritz法以及哈密顿原理等实现了圆柱壳结构自由振动特性分析，但尚未有统一的求解公式进行复杂边界条件下圆柱壳结构的自由振动特性分析。为此，本文基于Jacobi-Ritz法提出针对复杂边界条件下圆柱壳结构自由振动特性的统一求解公式，其中位移函数由轴向方向的Jacobi多项式和周向方向的傅里叶级数表示，边界条件和连续性条件由弹簧刚度值来模拟。因此，本文在求解圆柱壳结构自由振动时边界条件可以任意选取，且统一形式的Jacobi多项式较改进傅里叶法、Ray-leigh-Ritz法等更容易选取位移函数，更有利于建立统一的求解方法。

1理论方法

1.1圆柱壳结構几何模型

如图1所示，圆柱壳结构是由母线ab绕轴Ox旋转而成，母线ab长为L，厚度为h，母线距旋转轴的距离为R，假定圆柱壳结构由均质和各向同性材料组成。

由表2可知，随着子结构划分壳段数的不断增加，圆柱壳结构频率逐渐趋于收敛;同时，当子结构分段数等于5时，圆柱壳结构频率已具有较高的精度，此后继续增加子结构分段数对计算精度的影响较小。

2.1.3Jacobi多项式参数的影响

圆柱壳材料和结构参数与图2相同;结构分段数H=5，M=8，以a=β=0为基准来衡量刚性固定边界条件下不同Jacobi多项式参数取值对计算结果影响的相对误差百分比。

由图3可知，在其他参数一定条件下，Jacobi多项式参数a，β对圆柱壳结构振动特性的影响较小，不同Jacobi多项式参数下的相对误差不大于2×10^-6，对计算结果的影响可忽略不计。说明Jacobi多项式可在允许范围内任意取值，也进一步证实了本文提出的统一Jacobi多项式是切实可行的。

2.1.4最大容许函数取值的影响

圆柱壳材料和结构参数与图2相同;结构分段数H=5，a=β=0。刚性固定边界条件下最大容许函数对圆柱壳结构振动特性的影响如图4所示。

由图4可知，当最大容许函数M不小于4时，计算结果已趋于稳定，此后最大容许函数M的增加对增加计算精度影响较小，无特殊说明情况下本文选取M=8。

2.2计算结果的有效性验证

前文已验证本文方法收敛性，为将本文方法应用于复杂边界条件下圆柱壳结构自由振动特性分析，需开展本文方法的有效性验证，将一般边界条件下圆柱壳结构振动频率与文献[13]进行比对。圆柱壳结构、材料参数取值等与图2相同，对比结果如表3所示。

由表3可知，本文方法与文献[13]具有较高的一致性，说明本文方法可用于一般边界条件下圆柱壳结构自由振动特性分析。实际工程应用中，圆柱壳结构边界条件往往更加复杂，为将圆柱壳结构边界条件扩展到复杂边界条件，需进行弹性边界条件下圆柱壳结构自由振动有效性验证。弹性边界条件下圆柱壳结构自由振动频率对比如表4所示。

由表4可知，弹性边界条件下，本文方法与文献[13]同样具有较高的一致性，由此可将本文方法扩展到复杂边界条件下圆柱壳结构自由振动特性分析。弹性边界条件下本文方法的误差主要来自表1弹性刚度值大小的选取，当选取弹性范围内更合适的弹簧刚度值，可使计算误差进一步减小。同时，由表4可知，随着周向波数n的增大，不同弹性边界条件对圆柱壳结构自由振动特性影响逐渐减小。

2.3复杂边界条件下圆柱壳结构自由振动特性分析

基于上述研究，开展复杂边界条件下圆柱壳结构自由振动特性研究，为复杂边界条件下圆柱壳结构自由振动分析提供数据参考。复杂边界条件下圆柱壳结构自由振动特性如表5所示。

由表5可知，不同边界条件对圆柱壳结构振动特性的影响存在较大差异。同时，同一周向模态下，轴向模态数越大，圆柱壳结构固有频率越高。

为探究圆柱壳结构尺度参数对其自由振动特性的影响规律，开展不同长度半径比值下圆柱壳结构自由振动特性研究。圆柱壳材料参数同图2，结构分段数H=5，M=8，a=β=0，不同长度半径比值下圆柱壳结构自由振动特性如图5所示。

由图5可知，同一周向和轴向波数下，圆柱壳长度与半径的比值越大，自由振动频率越小;同一周向波数下，圆柱壳结构自由振动频率随轴向波数的增加逐渐增大。

3结论

本文基于Jacobi-Ritz法提出统一的求解公式，开展了任意边界条件下圆柱壳结构自由振动特性分析。通过本文研究，可得如下主要结论：

1.圆柱壳结构收敛性与弹簧刚度值大小、壳段数、Jacobi参数及最大容许函数选取等有关。当弹簧刚度值K≥10³E时可视为刚性边界条件;当弹簧刚度值K=0时可视为自由边界条件;当弹簧刚度值在10^-4E≤K≤10^-2E范围内时可视为弹性边界条件。壳段数划分越多，本文方法求解精度越高，计及求解效率等因素，壳段数划分不宜过大;Jacobi多项式参数对圆柱壳结构自由振动频率影响较小，可忽略不计;最大容许函数M越大，计算精度越高。

2.一般边界条件下，基于Jacobi-Ritz法的圆柱壳结构振动特性分析结果与文献[13]计算结果吻合较好，说明本文方法可用于复杂边界条件下圆柱壳结构自由振动特性分析。

3.给出了复杂边界条件下圆柱壳结构自由振动特性规律，为圆柱壳结构自由振动特性分析提供了数据积累及方法依据。

4.同一周向和轴向波数下，圆柱壳长度与半径的比值越大，自由振动频率越小;同一周向波数下，圆柱壳结构自由振动频率随轴向波数的增加逐渐增大。