推导三种宇宙速度

艾尼·卡迪尔 努尔尼牙孜·肉孜

（新疆喀什巴楚县第五中学，新疆 喀什 843800）

宇宙速度是指从地球抛出一物体，在天体的重力场中运动，四个较有代表性的初始速度的统称；

第一宇宙速度（又称环绕速度）：是指抛体紧贴地球表面作圆周运动的速度（也是人造地球卫星的最小发射速度），大小为7.9km/s；

第二宇宙速度：是指抛体完全摆脱地球引力束缚，飞离地球的所需要的最小初始速度，大小为11.2km/s .

第三宇宙速度：是指在地球上发射的抛体摆脱太阳引力束缚，飞出太阳系所需的最小初始速度，其大小为16.7km/s .

假设地球是均匀球体，万有引力定律告诉我们：：任何两个质点之间都存在相互的吸引力，大小和两个质点的质量乘积成正比，和距离平方成反比，首先我们应用万有引力定律来对人造卫星绕地球的运行情况进行一个简单的分析.

一、三种宇宙速度的推导方法

分别讨论第一宇宙速度，第二宇宙速度和第三宇宙速度的几种推导方法，用不同的的方法和思路推导三种宇宙速度。

（一）第一宇宙速度的推导方法

基本公式法：

设地球质量为M，半径为R，绕地球做匀速圆周运动的飞行器质量为m，飞行器速度大小为v，距离地面的高度为h .飞行器运动所需向心力是由万有引力提供，即：

这就是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫做第一宇宙速度。

（二）第二宇宙速度的推导方法

第二宇宙速度就是脱离地球的速度.要计算这个速度，必须先求出在地球的引力场内，物体移动时克服引力所作的功。由于各个不同位置的引力并不相等是变力，在这里我们不能引用W=FS=mgs的公式来计算，而要用积分或用下述方法。

设将物体m从地球E的引力场内P0处移到Pn处。因各点的引力不等。我们在P0，Pn二之间分成许多个很小的等分δ，如图1所示，各等分点P0，P1，P2… …Pn距地球中心的位置各为r0，r1，r2… …rn； 然后求出每一等分的平均引力；再将物体在各等分间反抗平均引力所做的功总和起来，就是物体从P0到Pn所做的总功。物体在P0处所受的力等物体在P1处所的力等于，物体在P0，P1间所受的平均引力 。

上式中，r1=r0+δ，因δ很小，故扩可以略去不计。物体从P0到P1所作的功=，同理，物体从P1到P2所作的功，同理，物体Pn-1从到Pn所作的功。将以上各式相加，得出：物体从P0到Pn所作的功

2.设将物体从地球的表面(r0=R)射到地球以外(rn=∞)这时所需要的速度v2就是脱离地球的速度.

3.如将物体从距地心为r的高处，射向地球以外，即r0=r，rn=∞，则

（三）第三宇宙速度的推导

选择原点在太阳的中心，设质点以第三宇宙速度抛出时，其动能为，这个动能包含两部分，即脱离地球引力所需的动能Ek1和脱离太阳系引力所需的动能Ek2，即根据第二宇宙速度可求出质点脱离地球引力所需要的动能。下面求Ek2，因为地球绕太阳公转的椭圆轨道的偏心率很小，可近似认为是园，各行星对质点的引力比太阳对它的引力小得多，不可计，基于这两点简化并应用机械能守恒定律解题从（2）式可知，质点环绕地球的速度乘以便是质点脱离地球引力所需的速度，与此相类比，质点随地球环绕太阳公转的速度乘以 也就应该等于指点脱离太阳引力所需的速度，根据观测和计算，地球的公转的速率等于29.8km/s，所以质点脱离太阳引力所需的速率应该是

如果准备飞出太阳系的质点的发射方向与地球公转的速度，这样，射出的质点在离开地球时只需要有相对于地球为的速度便可以摆脱太阳系，与此相对的 动能为既能摆脱地球引力又能摆脱太阳引力所需要的总能量为即可求出第三宇宙速度。

二、总结

综上所述，对三个宇宙速度的推导过程中，不仅要涉及到物理上的运动的合成与分解、能量守恒定律、圆周运动规律以及参考系的选取，还要用到数学上的知识。