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自组织理论观照下的数学家常课教学

2020-05-13刘权华

关键词:自组织数学

刘权华

摘    要:自主、合作、探究的学习方式是教学本源的回归.自组织理论观照下的数学家常课教学应该注重情境创设、台阶搭建和帮助学生知识内化梳理,教会学生善于用数学眼光观察世界、用数学观点思维世界、用数学语言表达世界.

关键词:自组织;数学;家常课

自组织,最早是作为一个哲学概念由德国哲学家康德提出的.他认为,自组织的自然事物具有这样一些特征:它的各部分既是由其他部分的作用而存在,又是为了其他部分和整体而存在,各部分交互作用,彼此产生,并由于它们间的因果联结而产生整体,只有在这些条件下并且按照这些规定,一个产物才是有组织的并且是自组织的产物,才称为一个自然目的.自组织理论认为,真正意义上的学习一定是自我学习,自主、合作、探究的学习方式是教学本源的回归.真正有效、高效的教学,有时不在于教学设计多么精致、教师的分析多么精辟、教学的技艺多么精湛、学生的活动多么“精神”、反馈的结果多么精彩,而在于学生有没有真正地思维参与,学习活动有没有真正发生[1];如果我们对教材的处理,对教学的设计,使学生对学习材料的意义没有认识,不能实现个体意义赋予,那么,外人看来,再重要再有意义的内容,也与学习者无关,更无法唤起主动亲近的感觉.学习材料有其固有意义,教者追求的应是学习材料的固有意义对每个学生有意义.根据自组织重要理论基础的协同学理论,有人提出一种新的教学过程理论:教学过程是一个学生、教师、教材和环境相互协同的过程,是学生在教师引导下完成对教学内容掌握的同时,其认知系统从被组织向自组织转变的过程[2].所谓的被组织,教学过程的自组织,是指“在教师的引导下,学生的知识、技能和方法等参量之间进行相互协同和竞争,当学生的大脑进入从无序到有序的临界值时,导致只有少数参量支配学生的认知系统,最终实现学生的认知从无序变为有序,达到‘教是为了不教的目的”[3].

作为教师,我们必须清醒地认识到,学生始终是学习的主体,领会、感悟知识意义,训练、提高技能,发展、提升能力,始终是学生主动同外部环境相互作用的过程.因而教学设计应充分考虑学习者的自组织特性,为其自组织提供充分的外部条件(物资、能量和信息),以促进学生的发展.家常课,即常态课,是我们的地盘,如何在自己的地盘上有效行使权力,实现使学习者会“用数学的眼光观察世界、用数学的观点思维世界、用数学的语言表达世界”学科核心素养的教学追求,值得我们每一位教师认真思考并努力实践.下面以家常课“二项式定理”的起始教学为例,阐述自组织理论观照下、基于核心素养的教学设想及实践.

一、内容分析

二项式定理是苏教版数学教材选修2-3第1章第5节的内容,它是代数多项式的推广,内容安排在“计数原理”之后,是“计数原理”的一个应用,能够深化对组合数的认识,能利用二项式定理解决整除、近似计算、不等式证明等问题,在后继的随机变量及其概率分布、二项分布等内容的学习中起着承上启下的作用.教材为确定[(a+b)n(n∈N?)] 的展开式,从n=2,3的情形入手,由特殊到一般推导出二项式定理,然后就是三道例题:例1.利用二项式定理展开下列各项:[(1)(a-b)6;(2)(1+1x)4].例2.在[(1+2x)7]的展开式中,求:(1)第4项的二项式系数;(2)含[x3]的项的系数.例3.求[(x-12x)6]的二项展开式中的常数项.

二、自组织理论观照下数学家常课教学的做法

学生是在外部方式的引领、组织、合作下学习成长,具体到个体的改变却是自内而外按自我的意愿进行的,是外在影响的个人塑造.教师要做的是通过教学材料和教学活动,实现学生的自适应、自设计、自改造、自批判、自教育、自创生、自完善.

(一)注重情境创设,引出课题

家常课,按部就班,最省事,最直接,最节省时间,但如果想让学生感受到数学源于生活并用于生活,学会用数学的眼光观察世界,注重情境创设是最好的办法之一.本课若创设如下情境,效果就不大相同.

情境1:同学们,每天进步一点点,一年以后,你会进步很大,每天退步一点点,你会不知不觉有较大的退步,你能用数学的语言(符号、文字、图形)来描述这个事实吗?(足够的时间后,给出[(1+0.01)365、(1-0.01)365]的比拟,此时学生可能会惊呆,惊喜,激动不已,但是,这仅是用意之一)如果我们不借助于计算工具,怎样快速地比较它们的大小呢?

【设计意图】激趣,感悟,让学生感受到数学源于生活,用于我们的日常生活,用数学的眼光看世界,以此揭示学习二项式定理的必要性,引发学习的意向.

情境2: 1664年,伟大的科学家牛顿,年仅22岁在剑桥大学就读的他,在研读英国数学家沃利斯的《无穷算术》中的[(a+b)2]=[a2]+2[ab]+b[2],[(a+b)3]=[a3]+3[a2]b+3[ab2]+[b3]时,发现了[(a+b)n]展开式的规律(即二项式定理).

【设计意图】遵循“历史发生原理”,将牛顿发现二项式定理的历史融入教学,以此激发学生的学习兴趣,启迪思维,同时让学生受到数学文化的熏陶,培育數学素养.

创设了以上情境后,学生学习的积极性会被调动起来,接着话锋一转:为了探讨[(a+b)n]的展开式,你是否见过相同或类似的式子?引出[(a+b)2]、[(a+b)3],然后再从特殊到一般的探求法,这样或许自然得多,流畅得多!在家常课教学中,要抓住数学的本质,了解学生的认知规律,创设合适的情境,提出合适的问题,启发学生思考,鼓励学生数学的表达,在掌握数学知识技能的同时关注学生数学核心素养的培育.

(二)注重问题引导,搭建台阶

美国优秀教师格蕾塔曾说过:如果一定要我说教学有什么诀窍的话,那就是问题.当教师能够不断向学生提问并得到回答的时候,就已经接近想要达到的目标了.教学不应奴性地跟随学生认知发展的自然过程,而应向学生提供具有挑战性问题,同时又处在合适的机会,促使学生的发展步步向前.教师需要转变自己的教学理念,转变传统的教学方式,改革教学方法,由课堂的执行者转变成课堂的组织者、引导者和合作者.学生获取数学核心素养依赖于经验的积累,在新课改的背景下,我们要让学生成为“跳起来摘桃子的人”,而不是“装桃子的筐”.

为思维而教,帮助学生学会数学地思维.要搭建思维的台阶,让学生能够摘到桃子,其中通过设置具有思维含量的问题是一种比较好的方法.先设计七八个关键主问题,在关键问题处再根据学生的具体情况设计(追问)几个小问题,让学生能够学会、学好不同的数学.如本节课的起始部分可设计如下的主问题.

问题1   [(a+b)2,][(a+b)3]是怎样得到其展开式的?

【设计意图】让学生自主思考,给予学生较大思考空间,引导学生思考组合数是怎么来的,让学生对特殊情况进行观察和比较,利用归纳推理的办法去发现一般规律,让学生寻找解决问题的办法,同时,提高学生的归纳推理能力.

问题2   展开式中的项是如何确定的?

【设计意图】让学生明白多项式乘法法则是推导二项式定理的本源之一.

问题3   你能根据以上两个式子写出[(a+b)4]的展开式吗?

【设计意图】在這个过程中,引导学生依据多项式乘法探求展开式每一项的构成及项数,强调运算规则的运用与算法过程的分析,直指“数学运算”“逻辑推理”等核心素养的培育.

问题4   你能用组合数表示上述展开式中的系数吗?

问题5   二项式系数的实质是什么?系数呢?

【设计意图】问题4、5虽然是“小”问题,却是为学生解决关键问题搭建的台阶,起到了铺垫的作用,为解决问题6、7架桥铺路.

问题6   根据多项式概念,你认为应从哪些角度观察以上三个公式的共同特征?

【设计意图】引导学生从项数、次数、项及系数等方面来探求其规律.

问题7   你能根据以上两个式子猜出[(a+b)n]的展开式吗?

【设计意图】至此一切水到渠成,下面让学生体验“观察—归纳—猜想—论证”的数学学习模式,学生通过参与数学活动过程,让学生感悟数学的基本思想,积累数学思维和实践的基本经验,进而促进学生形成和发展数学核心素养.

问题8   二项式定理有哪些重要特征?

【设计意图】培养学生用数学的语言描述定理,理解定理,把握定理的本质特征.

在自组织阶段,学生是学习的主体.利用自组织转换理论,让学生再发现、再交流和再反思,通过教师的诘问补充,帮助学生完善思维过程,真正实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何以知其所以然”的跨越,让学生真正成为课堂的主角,让学习真正发生,使得课堂探究精彩纷呈,意犹未尽.

当然对一些难以理解的关键问题,也可以搭建一些“台阶”,比如在展开[(a+b)3]时,标记字母[b],展开[(a+b)3=(a+b1)(a+b2)(a+b3)][=a3+a2b3+a2b2+ab2b3+b1a2+b1b3a +]b1 b2 a+b1b2b3.

其中[b1],[b2],[b3]是同一个b.如此设计,就可以让学生有一个从具体到抽象的思维渐进过程,从组合数的角度观察各项系数的生成特点,再从特殊推广到一般情况,得到[(a+b)n]的展开式,并总结展开式的基本特点.

巧妙搭建台阶,真诚关心学生,激励学生信心,等待倾听,让学生在教师的耐心等待和真诚希望中增强学习的勇气、信心和力量,让课堂焕发出生命色彩和人性光辉.

(三)注重分析梳理,建构体系

梳理是帮助学生知识内化的过程.创设条件让学生对所学知识进行“自组织”——识别、赋意;教师要做的是通过教学材料和教学活动实现学生的自适应、自改造、自批判、自教育、自创生和自完善.

1.对定理、公式的推导过程以及思想方法进行梳理

如本节课可以对二项式定理从展开式的结构——项数、指数、系数、二项式系数等方面进行梳理,通过提炼,实现知识的进一步精确化,建立对二项式定理的完整认识;对所用到的“从特殊到一般,从具体到抽象”等的思维方法进行梳理,并尝试用数学符号或数学术语进行表征.

2.对关键思路和关键步子进行梳理

对关键环节的细致分析、解读,能让我们领略授课者的匠心独运和教学智慧,让我们久久回味和深深思考,这就是课堂的魅力和价值.如对问题5可以按照如下的推理线索进行梳理:各项的系数←确立项的方法种数←得到[an-rbr]的方法是什么←在n个因式(a+b)中选择哪r个因式中选取b字母.如此索因,使学生掌握问题分析的方法.

3.对例题、习题解法的回顾与反思

解题完毕,并不意味着一次学习任务的完成,回顾与反思恰恰是教学过程中最重要、最概括化也是最容易忽视的环节,如按照波利亚的解题表,梳理一下“能否检验答案?”“能否用别的方法推理这个结果?”“能否把这个结果或方法用于其他问题?”,这样的反复提问能够使学生作不同方面的推广,使知识系统化.

4.对本节课的学习过程进行呼应和梳理

在小结阶段,回应课堂开始创设的情境,如本节课的最后让学生估计[(1+0.01)365、(1-0.01)365]的数值(前者约为37.8,后者仅为0.03),此时学生一定会在惊讶的同时,为自己的学习成就自豪,顿悟“每天进步一点点”的数学和哲学意蕴,“无声胜有声”的教学效果顿显.正如史宁中先生所言:学生核心素养的形成与发展,是在教师的启发和引导下,学生通过自己的独立思考或者与他人交流,最终是自己“悟”出来的[4],由此实现他组织到自组织.通过梳理同时也让学生厘清思路,形成思维体系,让新学的知识纳入原有的认知结构,实现同化或顺应.要想真正取得好的效果,一定要用规范的数学语言进行表征,至于形式,可以是学生在黑板上板书,也可以是学生讲、教师板书,数学的思维是受到约束的思维,所以板书一定要清晰而规范.

三、思考与结语

“情境创设、问题引导、分析梳理”的三個“注重”不应只是形式.家常课的教学,首先要实现教学理念的转变.以生为本,培养学生的责任感,学习、生活的能力,科学精神,创新、创造的能力,已成为国际上追求的共同教育理念.当下我国新课程改革的教学理念主要有:(1)生活性——生活化教学,让课程内容从生活中来到生活中去;(2)发展性——发展性教学,让每一个学生都能得到适宜的充分发展;(3)整体性——整体化教学,强调的是关联而不是孤立,建构而不是复制,是“化学反应”而不是“物理反应”;(4)自主性——自主化教学,强调的是要由教转为学,由依赖走向独立;(5)有意义——意义化教学,教学的终极目标是引导学生理解知识、能力对“我”的素养立意,从而不断充盈自己的内心世界,提升自己生命的意义.这是在核心素养背景下数学家常课教学的五个主要理念,或者是家常课教学中倡导的五个主要策略.

观念指导行动.在家常课的教学中践行先进的教学理念,可以帮助我们反思以下问题.

我们的教学是否真正发生?关键是四看:一看学生的学习任务是否清晰具体,并且具有适切性和挑战性;二看学生是否具有清晰的责任意识和目标意识;三看学生有没有形成探究的思维活动和经历;四看学生能否借助学习成果进行实际的比较和判断,在变化的情境下产生迁移.

学生的学习是否真正发生?关键看是否实现四个“转变”:(1)学习态度的转变:学生由“要我学”转变为自觉自主的学习;(2)学习角色的转变:由个体的接受学习,转变为学习共同体的共同学习;(3)学习目的的转变:由学会知识与应付考试转变为学会学习,学会运用与创新;(4)教与学方式的转变:教师由单一的教学变为师生、生生共同的学习探究.

核心素养是在特定的情境中表现出来的知识、能力和态度,要实现核心素养真正落地生根,必须重视情境的创设和问题的引导,并通过台阶搭建、分析梳理实现学生的知识体系建构.设计情境和提出问题,其目的是启发学生思考,其基础是教学内容的本质.只有通过合适的情境才利于学生感悟.情境和问题是多样的、多层次的,一个情境是否合适并不仅仅取决于情境本身,而在于所提出的问题是否能够揭示数学的本质.这些都是我们在家常课教学中需要注意的问题.

在我们平时的家常课教学中,自觉运用自组织系统理论,改进我们教的方式,从仅强调运用外部力量改造学生以达成学习目标的他组织教学方式,通过对教学材料的组织,贴合和顺应学生的思维,走向培养学生自主地求取知识、组织知识,实现教学目的的自组织成长方式,让学生在自组织的经历中自我地“设计、改造、批判、完善”,逐步提高自我组织能力,形成自我教育,实现学生的可持续发展.这是一种多么美好的前景!让我们为学生的自组织而教,为学生的可持续成长而教!

参考文献:

[1] 严必友.听课、评课应当关注的六个关键点 [J].教学与管理,2019(3):36-37.

[2] 陆泽璇,林乐鑫.物理教学过程的自组织转变[J].物理教师,2019(5):21-24.

[3] 陈海梅,郝红军,雷凤兰.从建构主义到自组织转变理论:科学理论的重要变革[J].首都师范大学学报(自然科学版),2008(6):28-33.

[4] 史宁中.高中数学课程标准修订中的关键问题[J].数学教育学报,2018,27(1):8-10.

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