SV波作用下饱和土中深埋复合式衬砌动力响应研究

宋金博 宋瑞

摘要：利用波函数展开法，得出了SV波作用下深埋复合式衬砌动应力集中问题的解析解，并将其退化为弹性介质中单层衬砌对SV波散射问题，验证了结果的可靠性。研究结果表明，饱和土中复合式衬砌内边界动应力集中系数大于外边界，其原因是内侧衬砌刚度大于外侧衬砌刚度及衬砌内侧为凌空边界所致;增加内外侧衬砌的厚度可很大程度上减小衬砌内动应力集中系数;复合式衬砌刚度对衬砌动应力集中系数影响较为显著，在保证内外侧衬砌稳定的情况下，应尽量减小内外衬砌的刚度差，以减小衬砌内应力放大效应。

关键词：复合式衬砌;SV波;饱和土;圆形衬砌;深埋

中图分类号：TU352.1;TU435文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）02-0383-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.02.019

引言

日本阪神地震、中国唐山地震和汶川地震等众多地震经验说明，强烈地震作用下会对地下结构造成严重的破坏，因此，研究地震波作用下地下结构稳定性问题具有重要的实际意义。目前，国内外已有许多学者针对弹性波作用下地下圆形衬砌动应力集中问题做了相关研究。Pao等首次采用波函数展开法研究了弹性波作用下弹性介质中圆形衬砌动应力响应问题;Lee等和Xu等通过引入大圆弧假定，将地面与洞室计算坐标统一，求解了弹性波入射下半空问中浅埋洞室动应力响应的解析解;Hasheminejad等求解了地震波作用下饱和多孔介质中双线隧道衬砌动应力响应问题的解析解;钟启凯采用波函数展开法研究了柔性衬砌和刚性衬砌在地震波作用下的动力响应问题，并分析衬砌和围岩参数对动应力的影响;Jiang等在直角坐标系下求解了孔隙弹性半空问中圆形衬砌的动应力响应问题;徐长节等引入非局部-Biot理论，求解了P波作用下饱和土中深埋圆形衬砌的动应力响应问题，并分析了非局部参数对其影响;李伟华等研究了饱和土中深埋圆柱形衬砌在平面P波作用下，动力响应问题的瞬态解。Lin等将Hankel函数转换为直角坐标系，从而求解了半空问中圆形衬砌对入射P波和SV波散射问题的解析解。

以往的研究大多数是针对单层衬砌，而常见的铁路隧道、水工隧道等都是初衬加上二次衬砌的复合式衬砌结构，目前针对复合式衬砌的动应力响应问题研究较少，王长柏等和王帅帅等分别研究了弹性介质中深埋和浅埋圆柱形衬砌在地震波作用下的动应力响应问题，除此之外，王帅帅等采用室内振动台试验，分析了含减震层衬砌的动应力响应问题。

以上对复合式衬砌的研究都是在弹性介质中，而在饱和土介质中复合式衬砌方面的研究还未见相关报道。本文旨在基于SV波作用下，对复合式衬砌的减震机理进行研究，分析了衬砌厚度及刚度对衬砌内动应力集中系数的影响。

1理论模型及饱和土中波场

1.1计算模型和入射波

饱和土中深埋复合式圆形隧道衬砌计算模型如图1所示。复合式衬砌半径分别为R1，R2，R3复合式衬砌力学参数可由拉梅常数λk，uk以及密度pk确定。

假设平面SV波在无限饱和土介质中沿x正方向传播至衬砌边界（如图1所示），入射SV波势函

2衬砌内波函数

衬砌结构为单相固体介质，求解时可将衬砌视为弹性均匀介质，由此可知，衬砌1（外侧衬砌）内存在由饱和土与衬砌交界面的折射波场以及衬砌2（内测衬砌）外界面的散射波场;衬砌2内存在由外界面的折射波场和衬砌2內界面的散射波场。由此可知衬砌内波场势函数可表示为：

4计算结果与分析

为研究SV波作用下复合式衬砌的动应力响应问题，以此来判定复合式衬砌的隔振效果，本文引入复合式衬砌外边界以及内边界动应力集中系数（DSCF），其所表述的是入射波在其传播方向上的强度，即衬砌内环向应力与入射波引起介质产生最大应力的比值

衬砌参数。分析弹性模量对DSCF影响时，保持衬砌半径为R1=3.2m，R2=3.0m，R3=2.7m。分析衬砌厚度影响时，衬砌内径R3保持不变;分析衬砌1厚度影响时，衬砌2厚度保持0.3m，分析衬砌2厚度影响时，衬砌1厚度保持不变。衬砌1弹性模量取值为10GPa（5-25GPa），衬砌2弹性模量取值为30GPa（20-45GPa），括号内为分析弹性模量影响时采用的范围值。入射波频率f=20Hz，其中圆角频率ω=2πf。

图3为复合式衬砌在SV波作用下，衬砌内外边界动应力集中系数（DSCF）的分布曲线。由图可知，复合式衬砌内边界DSCF大于外边界DSCF，其原因是衬砌2的弹性模量大于衬砌1弹性模量，从而导致衬砌2中应力呈现出了明显的放大效应。除此之外，衬砌2内边界为凌空状态，其受力也相对较差。

图4为衬砌2厚度不变（0.3m）情况下，复合式衬砌内外点DSCF随衬砌1厚度变化曲线。从图中可以看出，衬砌1厚度由0.1m变化至1.0m时，衬砌上B，D点DSCF由74.2，58.9减小为4.98和4.96;A，C点DSCF由38.2，26.5减小至1.29和1.32。由此可知，增加衬砌1的厚度可以较为明显地减小衬砌内部的受力。

图5为衬砌1厚度（0.2m）不变情况下，复合式衬砌内外点DSCF随衬砌2厚度变化曲线。由图可知，衬砌2厚度由0.1m增加至1m，B，D两点DSCF呈现为先增加后减小，而A，C两点DSCF由30.2和22.6变化至1.14和1.13，由此可知，随衬砌2厚度的增加，衬砌内边界DSCF存在峰值，增加衬砌2的厚度对改善衬砌内应力有一定效果，隧道衬砌设计时，应将其考虑在内。

图6为衬砌2弹性模量一定时，复合式衬砌内外点DSCF随衬砌1弹性模量变化曲线。由图可知，衬砌内边界点DSCF随衬砌1弹性模量的增加而减小，而衬砌外边界点DSCF随衬砌1弹性模量的增加而增大，且两者变化幅度均较大，这是由于隧道衬砌1弹性模量增加，衬砌1与衬砌2弹性模量值更加接近，应力放大效果减弱。

图7为衬砌1弹性模量一定时，复合式衬砌内外点DSCF随衬砌2弹性模量变化曲线。由图可知，随衬砌2弹性模量增加，复合式衬砌内边界DSCF逐渐增加，而外边界DSCF逐渐减小，这是由于衬砌2弹性模量大于衬砌1，而对衬砌内动应力有一个放大效应，随着衬砌2弹性模量的增加，此放大效应更加明显，由此导致复合式衬砌内边界DSCF逐渐增大;同时，由于衬砌2弹性模量的增加，衬砌1相对衬砌2更加倾向于柔性体，而导致衬砌外边界DSCF逐渐减小。由此说明，衬砌2与衬砌1弹性模量相差愈大，衬砌内边界DSCF越大，因此衬砌设计时，应尽量保持复合式衬砌弹性模量尽量相近。

5结论

本文采用波函数展开法，推导出SV波作用下饱和土中复合式圆形衬砌动应力响应问题解析解。将本文计算结果退化为弹性介质中单层衬砌动应力问题，其结果与文献[6]结果吻合的很好。除此之外，本文分析了衬砌厚度及弹性模量对动应力集中系数的影响，得出如下结论：

（1）复合式衬砌的内衬砌（衬砌2）动应力集中系数大于外衬砌（衬砌1）动应力集中系数，其原因为内衬砌刚度大于外衬砌刚度，从而导致内侧动应力出现应力放大效果，而且衬砌内边界凌空边界，其受力效果较差。

（2）复合式衬砌的内外衬砌厚度对衬砌内动应力影响均较大，增大衬砌厚度可很大程度上减小衬砌内动应力集中，因此，饱和土中复合式衬砌设计时应将此因素考虑在内。

（3）复合式衬砌刚度对衬砌内动应力影响较大，且随外衬砌刚度增加，外边界动应力集中系数增大，而内边界动应力集中系数减小;内衬砌刚度增加，效果与上述相反。因此，建议在衬砌设计时，应尽可能减小内外衬砌的刚度差，以减小应力的放大效应。