任意弹性边界下非局部梁的横向振动特性研究

鲍四元 曹津瑞 周静

摘要：基于非局部理论，对任意弹性边界Euler-Bernoulli梁的横向振动特性进行分析。在结构两端边界引人横向位移弹簧和旋转约束弹簧，通过设置其刚度大小来模拟从自由到固支的各种边界条件。计算中先将梁的位移函數以改进傅里叶级数形式表示，然后采用基于Lagrange泛函的瑞利一里兹法建立关于改进傅里叶级数系数的线性方程组。根据此方程组有非零解的条件，通过求解广义特征值问题得到梁的固有频率和振型曲线。算例结果表明所提方法具有合理性且具有良好的精度，并进一步探究非局部影响系数与弹性边界约束刚度对非局部梁振动的影响。

关键词：结构振动;横向振动;非局部理论;谱几何法;弹性边界条件

中图分类号：0327;0343文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）02-0276-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.02.007

引言

自从Iijima1991年发现碳纳米管以来，工程结构逐渐向微型化、智能化的方向发展，而纳米梁作为重要构件在微机电系统、生物传感器和原子力显微镜等领域得到日益广泛的应用。在研究微尺度结构力学性能的诸多方法中，实验研究由于对试样、仪器和测试方法的严苛要求，以及对精度控制的困难性而备受局限。分子动力学模拟因程序计算量巨大，计算效率较低而难以进行。在微纳米尺度下，材料特征长度尺寸接近材料颗粒尺寸，结构的尺度效应不可忽略，传统连续介质理论已无法准确预测微纳米尺度结构的力学性能。因此，考虑尺度效应的非局部理论成为微纳米力学领域的一个研究重点。

作为在经典连续介质理论基础上的扩充与发展，非局部理论能够计及微观尺度效应，为解决考虑到内部微观或细观结构的问题奠定了理论基础。非局部理论的基本思想是某点的应力状态不仅与该点的应变状态有关，同时与整个域内所有点的应变状态有关。研究人员给予非局部理论极大的关注，非局部理论体系也正在逐步完善。如，戴天民对连续统场理论进行了大量的工作，先后提出连续统场论、微极连续耦合场论，极性连续统理论的基本原理等，并对该理论进行了详尽的论述。Aydogdu基于非局部弹性理论，研究了不同边界条件下非局部直杆几何参数和非局部特征参数对纵振固有频率的影响。Numanoglu等研究不同边界条件下非局部一维纳米结构的自由振动特性，得出了附加质量会引起纳米杆纵向频率减小的结论。Loghmani等基于波传播法对非局部杆含裂纹等多种不连续问题做了综合性研究。张大鹏等。利用传递函数法研究非局部黏弹性地基梁的振动特性问题。黄伟国等基于非局部理论研究了压杆稳定性及轴向振动，推导了3种常见边界条件下杆临界压力和固有频率的非局部理论解。Pisano等获得了非局部弹性直杆静力问题中应变场的封闭解。Thai等在连续力学模型基础上进行了梁与板的尺度效应分析。由此可见，非局部理论在弹性力学、黏弹性力学等方面的研究中取得了许多成果，解决了一系列经典连续介质力学无法解决的问题。

目前国内外对非局部梁横向振动特性的研究方法主要有解析法、数值法、微分求积法、传递函数法、改进傅里叶级数法等。如Reddy等推导了Eul-er-Bernoulli和Timoshenko梁理论的运动方程，该方程可以用来校核非局部梁在不同边界条件下的静力弯曲、振动和屈曲响应。Shen等运用传递函数法求解了非局部弹性梁在经典边界条件下横向振动的模态及频率。De Rosa等利用DQM（微分求积法）研究了嵌入介质的单壁碳纳米管的非局部振动频率。Kiani分别应用非局部Euler-Ber-noulli梁（NEB）、非局部Timoshenko梁（NTB）和非局部高阶梁（NHOB）理论研究单壁碳纳米管的横向自由振动频率。Lu等基于Hamilton原理推导了尺度效应梁振动的控制微分方程及边界条件，用Navier方法获得了简支纳米梁的固有频率解析解。Li等对非局部应变梯度梁，采用直接求解控制方程预测了杆在简支边界条件下的临界屈曲力和后屈曲挠度。

由于数学处理上存在一定难度，这方面的研究主要局限于经典边界条件，即固定、简支、自由等。事实上，边界条件作为影响结构振动特性的重要因素，已有的研究较少，制约了人们对此类问题的全面认识。

针对已有研究的不足，本文基于非局部弹性理论建立弹性边界约束梁结构横向振动分析模型，任意经典边界及其组合可以通过设置边界约束刚度系数得到。使用基于改进傅里叶级数的谱几何方法研究非局部Euler-Bernoulli梁的振动特性。其中谱几何法来源于改进傅里叶级数法，它能有效避免传统傅里叶级数方法的边界不连续、收敛速度慢等问题。该方法由Li提出并进行梁结构弯曲振动的分析。其中梁的挠曲位移被表示为傅里叶级数和一个辅助多项式的线性组合，使得弹性约束边界条件能够得到精确满足，结合梁结构的振动微分方程，根据系统的系数特征值矩阵使梁自由振动问题得到了很好地求解。数值计算表明该方法具有良好的收敛性和精确性。在改进傅里叶级数基础上，谱几何法作为一种新型方法在结构的振动分析中取得了若干进展。如石先杰等研究了环板结构的面内自由振动;Shi等研究了正交矩形薄板的弯曲振动;Bao等进行了环扇形板和矩形板的面内振动问题的研究。

本文研究思路如下：采用谱几何法假设非局部单跨梁横向振动位移函数的傅里叶级数展开式。在梁的两端设置横向位移弹簧与旋转约束弹簧，通过改变弹簧刚度来模拟弹性边界条件。利用瑞利一里兹方法，给出梁总势能和总动能的表达式，得到梁的Lagrange能量泛函，从而获得非局部弹性梁振动特征矩阵，通过求解矩阵的特征值问题得到固有频率和振型等振动特性。

1理论推导

本文在梁两端设置横向和旋转弹簧，通过调整边界弹簧的刚度来模拟不同边界条件。如图1所示，k1和k2为梁端旋转约束弹簧的刚度，k3和k4为位移约束弹簧的刚度，通过调节两组弹簧的刚度，可以模拟从自由到固定的任意边界条件。在后续计算中k2和ks模拟x=0处的边界条件，k1和k4模拟x=L处的边界条件。如位移约束弹簧与旋转约束弹簧的刚度均设置为无穷大时可模拟固定端条件。

1.1梁的非局部理论

工程梁理论大多是通过假设将三维动力学方程近似化，即使用有限个基本变量描述整个物体的力学状态，其中Euler-Bernoulli梁理论仅仅考虑弯曲变形，忽略轴向变形和剪切变形的影响，适用于研究細长梁的横向振动。

本文基于非局部理论研究Euler-Bernoulli梁。与经典连续介质理论不同，非局部理论认为梁中任意一点的应力与这一点以及周围区域的应变均有关，并使用核函数来表征这种关系。当核函数形式选为常用的指数型衰减核函数时，梁的单轴本构关系可通过如下微分形式表示为

1.2横向位移函数的谱几何法表达

常用的位移容许函数有多项式和三角函数等。采用多项式函数时，多项式的阶次会对结果产生很大影响，高阶多项式会导致数值结果不稳定，而低阶多项式则无法求解高阶振动。采用传统傅里叶级数时，位移函数可能在边界处不连续，会导致在除简单

本文模型可模拟在CC（两端固定）、CS（一端固定一端简支）、CF（一端固定一端自由）、SS（两端简支）、FF（两端自由）五种经典边界条件下的梁的横向振动，并可进一步调整边界约束刚度模拟弹性边界条件。经典边界条件下需设定无量纲弹簧刚度取无穷大，实际计算中此无穷大数取值至少为10⁶。取值时采用10⁶的普适性和合理性参见文献[20，23]。

本节首先讨论谱几何法求解非局部Euler-Ber-noulli梁时的数值收敛性，然后探讨非局部参数与弹性边界约束刚度对梁自由振动频率的影响。

2.1收敛性研究

在计算过程中，位移函数的截断数影响着结果的收敛性，因此需要先验证收敛性。选择简支一简支（ss）的边界条件，使用本文方法计算中取边界位移约束对应无量纲的弹簧刚度为10⁶，边界旋转约束弹簧刚度为0，非局部系数R=eoa/L=0.005，得到不同截断数下非局部梁的前9阶无量纲自振频率如表1所示。

文献[26]附录部分给出求解固定一固定（CC）边界与固定一自由（CF）边界非局部Euler-Bernoulli梁固有频率的方程，本文根据该频率方程求解各种边界条件下的无量纲频率，其值分别列于表2和3中。

由表1可以看出随着截断数增大，各阶频率计算结果趋近于精确值，而且较小的截断数即可获得精度较高的结果。因此文中方法具有合理性与良好的数值稳定性。计算表明，当截断数n取10以上时所得结果与收敛结果较为接近。为保证计算的精度，在后面的计算中，若无特别说明，截断数取n=15。

2.2经典边界条件下非局部Euler-Bernoulli梁横向自由振动分析

表4列出简支一简支（SS）边界条件下本文非局部Euler-Bernoulli梁横向自由振动预测频率与文献[25]结果的比较，计算中取非局部系数R分别为0.005和0.005√2。

表2给出固定一固定（CC）边界条件下Euler—Bernoulli梁的非局部无量纲频率。而表3给出固定一自由（CF）边界条件下Euler-Bernoulli梁的非局部无量纲频率。

从表2-4可以看出，本文计算方法所预测的结果与文献[25，27]的解能够很好地吻合，最大误差为0.07%，因而验证本文方法的正确性。

在求解结构的特征值问题时可以得到梁的振动频率，还可得对应的特征向量。将各阶特征向量代人式（2），即可绘制对应阶的振动模态曲线。

2.3非局部系数对Euler-Bernoulli梁固有频率的影响

以简支梁为例，表5给出不同非局部系数下简支一简支（ss）边界Euler-Bernoulli梁的固有频率，并与解析解对比，结果较为吻合。当非局部系数R=0.05和0.1时，本文方法分别使用截断数为15和40两种参数计算，比较发现截断数为40时，结果更加接近解析解，误差在0.8%以内。这也说明当非局部系数变大时，采用本文方法计算，截断数宜选择较大值来趋近精确解。

当非局部系数R一0时非局部梁即退化为经典局部梁。从表5可以看出，非局部效应使得Euler-Bernoulli梁固有频率变小。随着非局部系数的增大，非局部Euler-Bernoulli梁的振动频率减小的趋势越发明显。同时，相对于低阶振动频率而言，非局部效应对高阶频率的影响更大。

2.4弹性边界约束刚度对非局部Euler-Bernoulli梁固有频率的影响

为更好地表现边界弹性约束对非局部Euler-Bernoulli梁的固有频率影响规律，以一种广义简支梁为例，即采用不同边界横向约束刚度的广义简支一广义简支（记为“S1S1”）边界非局部Euler-Bernoulli梁进行计算比较。表6列出边界位移约束刚度变化时梁的前6阶固有频率。

边界约束刚度对非局部Euler-Bernoulli梁的固有频率有很大影响，由图2可以明显地反映出在不同的非局部系数下，边界约束刚度增大到一定值后对非局部两端简支Euler-Bernoulli梁固有频率的影响趋于一致。当无量纲约束刚度取为10⁴以下值时，固有频率变化明显，为弹性约束刚度对固有频率影响的敏感段。当无量纲约束刚度取为10⁴以上时，固有频率的变化不再明显且不断趋于一个定值。

3结论

本文在梁的非局部效应基础上，对弹性边界约束的梁的横向振动特性进行了分析，在谱几何方法的框架下进行计算。对计算结果进行分析，得到如下结论：

（1）基于改进傅里叶级数方法的谱几何方法除了能够有效改善传统傅里叶级数在边界处的位移或导数的不连续现象，还可以有效提升收敛速度与计算效率。

（2）对于非局部梁固有频率，本文方法所预测的结果与文献结果对比，误差一般在0.5%以内，表明文中方法具有良好的精度与结果稳定性。

（3）边界约束的刚度对梁的固有频率具有重要影响。随着刚度增大，这种影响则趋于缓和，且存在一个频率对于刚度变化的敏感区域。

（4）非局部效应使得梁的固有频率变小，随着非局部系数的增大，这种影响也越来越明显。相对于低阶频率而言，高阶频率受非局部效应影响更大。

（5）本文方法具有较为广泛的适应性。在梁参数与边界条件发生变化时，无需重新编制程序计算，只需改变计算参数，有利于结构的参数化研究，从而有效提升效率。