变分模态分解在爆破信号趋势项去除中的应用*

贾 贝，凌天龙，侯仕军，刘殿书，王 潇

（1. 中国矿业大学（北京）力学与建筑工程学院，北京 100083；2. 中大爆破公司，北京 102299）

振动数据采集过程中，周边环境的变化以及传感器性能的不稳定，可能会导致振动波形偏离基线中心。这种在爆破信号中变化慢、周期小且频率低的成分被称为信号趋势项。趋势项的存在，会使信号的时域分析以及频域的频谱图分析发生变化，甚至使低频谱完全失真[1-4]。因此，准确去除信号趋势项对提高爆破振动信号分析的精度具有重要的现实意义。

目前常用的趋势项消除方法有最小二乘法、小波法和EMD 法，其中小波法和EMD 法多应用于爆破领域。但两种方法都存在缺陷：小波法需要预先确定小波基函数以及分解阶数，不恰当的基函数会导致信号重构精确性下降[5-8]；EMD 法通过包络线分解的结束判断标准没有科学依据，可能使IMF 分量出现模态混叠问题，从而导致IMF 分量失去意义[9-10]。

随着研究的深入，学者们提出了许多新的趋势项去除方法。张胜等[7]利用自适应小波去除爆破信号的趋势项，取得了良好的效果；凌同华等[8]构造了双正交小波基，经过试验证明了其在爆破信号处理中具有良好的应用性。韩亮等[1]基于EEMD，提出了深孔台阶爆破近区爆破信号的趋势项处理方法。类似的研究方法，都是在小波法与EMD 法的基础上提出的，虽然弥补了两种方法的部分缺陷，但还是存在一些问题。

Dragomiretskiy 等[11]根据维纳滤波和变分问题的构造提出了变分模态分解（variational mode decomposition，VMD），该方法通过迭代搜寻变分模型最优解来确定每个分量的频率中心及带宽，从而能够自适应地实现信号的频域剖分及各分量的有效分离。由于VMD 算法处理随机信号时具有独特的优势，近几年来被广泛应用于机械信号的噪声处理领域。刘宏波[12]构建了含有低频与高频的分解信号，通过仿真实验分析了VMD 算法对构建信号的分解效果，证明了VMD 算法对低频分量信号具有较强的识别能力。

本文中将VMD 算法引入到爆破信号趋势项的去除领域中，并结合VMD 算法在处理低频分量时的优势，提出一种新的爆破信号趋势项的方法——VMD 法，并证明VMD 法在爆破信号处理领域方面具有更高的准确性、分辨率与稳定性。

1 变分模态分解原理

VMD 算法把信号分解为多个本征模态IMF（intrinsic mode functions）分量，且将IMF 分量重新定义为如下式所示的信号：

式中：t 为时间；uk(t)为各IMF 分量；Ak(t)为瞬时幅值，且Ak(t)≥0；φk(t)为瞬时相位，且φk(t)≥0。

EMD 算法获取IMF 分量时采用循环筛分剥离的方式，分解非平稳随机信号过程中时常会出现模态混叠等缺陷。与EMD 算法不同，VMD 算法将信号分解过程转化为变分求解过程，即把分解问题转移到变分框架内处理，通过寻找变分模型的最优解获取IMF 分量，算法核心包括变分问题的构造和变分问题的求解。

1.1 变分问题的构造

假设每个模态分量都紧凑地围绕一个中心频率分布，且具有有限带宽，中心频率会随着分解变化而变化。VMD 算法中变分问题的核心为：以输入信号f(t)等于IMF 分量之和为前提，寻找最小的IMF 分量的预估带宽之和，构造过程如下。

(1) 对于每个IMF 分量uk(t)，利用希尔伯特变换构造解析信号后，通过混合指数调谐各自估计中心频率的方法，将每个IMF 分量的频谱调制到相应的基频带上：

式中：uk={ u1,···, uk}代表分解得到的k 个IMF 分量；ωk={ω1,···, ωk}为各IMF 分量的中心频率；j 表示虚数单位； δ (t) 为狄拉克函数。

(2) 通过解调信号的高斯平滑度，即计算式（2）表示的信号梯度的平方L2范数，估计出各IMF 分量的带宽，构造的变分问题如下：

1.2 变分问题的求解

为求取式（3）中的约束变分问题，引入惩罚因子α 和Lagrange 乘法算子λ(t)，其中惩罚因子α 为较大的正数且在高斯噪声存在的情况下可保证信号的重构精度，Lagrange 算子λ(t)使得约束条件保持严格性，构造的扩展Lagrange 表达式如下：

（2）执行循环：n=n+1；

（3）对所有ω＞0 的分量,更新uk、ωk。

ukn+1的更新求解过程为：

（4）而后更新λ：

（5）对于给定判别精度e＞0，若满足下式条件，则停止迭代，否则返回步骤（2）：

2 基于变分模态分解的趋势项消除方法

2.1 VMD 法的优化原理和参数确定

图 1 k=2 的VMD 分解结果Fig. 1 VMD decomposition results of k=2

变分模态分解处理信号前需要设置参数：惩罚因子α 和分解层数k。其中惩罚因子α 的取值会影响分解精度，其取值越低各IMF 分量的带宽越大，取值越高IMF 分量的带宽越小，甚至会使得程序进入死循环，无法得到结果[11,13]。多数情况下，研究者[14-18]默认将惩罚因子α 设置为2 倍的输入信号长度。

与惩罚因子α 相比，分解层数k 的取值更为重要，因为其取值直接影响分解结果。现阶段针对VMD 分解中变量k 的研究还处于起步阶段，且没有形成统一的求解方法。试验表明，含有较大趋势项，即频率谱重心处于5 Hz 以下的爆破信号经过VMD 算法分解后，得到的一阶IMF 分量为信号趋势项，分解结果与k 的取值无关，并随机选取某工程数组实测信号进行验证，试验结果如图1 所示。图1 中6 种爆破信号趋势项都被较好地去除，表明采用上述参数的VMD 分解法具有一定的去除爆破信号趋势项的能力。因此，含有较大趋势项的爆破信号经过VMD 算法分解后，得到的一阶IMF 即为趋势项，与k 的取值无关。为了节省计算时间，VMD 算法分解信号时应取k=2。

2.2 基于VMD 的爆破信号趋势项去除方法

本文中根据爆破振动信号的特点，提出一种基于变分模态分解的微差延迟时间识别方法—VMD 识别法，该方法能够准确地提取出信号的趋势项，并避免过度消除造成的信号失真现象，详细步骤如下：

（1）根据爆破振动信号的长度与采样频率等因素，按照前节方法确定VMD 分解中输入参数α 的值；分解层数k 固定取值为2。

（2）提取出1 阶IMF 分量，此分量即为信号的趋势项。（3）原始信号除去趋势项即可得到对应的无趋势信号。

3 VMD 法适用条件的研究

为了验证本文中提出的VMD 法的适用条件以及有效性，利用无趋势振动信号v(t)进行仿真实验。

式中：s(t)为组合的含有趋势项的爆破振动信号；v(t)为无趋势爆破振动信号；n(t)为添加的信号趋势项，其中a、b 为趋势项的最大幅值，f1、f2为趋势项的振动频率。

爆破信号v(t)的采样频率为2 000，因此设置趋势项的采样频率也为2 000，采样点数N=2 000。以图2（a）中的原始无趋势爆破信号为例，将图2（b）所示的趋势项添加到原始信号中，对混合信号进行VMD 分解，结果如图2（d）～（f）所示。为了研究VMD 法的适用条件，将分解效果定义为[14]：

式中：ed为分解效果指标；T 为信号长度。

通过多次试验发现分解指标ed越大，分解结果与原始信号相差越大；ed越接近于0，分解结果与原始信号相差越小，且当ed＜0.1 时分解效果较为理想。图2（f）为VMD 法提取出混合信号的趋势项与实际趋势项的误差示意图，其分解效果ed=0.042＜0.1，说明VMD 法成功提取出了此混合信号的趋势项。

为了初步得到VMD 分解法的适用条件，以不同参数的趋势项为例，通过改变趋势项的频率和振幅，从而得到不同参数下VMD 法的分解指标分布图。分别以图2（a）和图1 中的信号1 作为原始信号1、2，处理结果如图3～4 所示。

观察图3 可发现，VMD 法对不同趋势项产生的分解效果不同，且趋势项的频率与振幅都会对VMD 法分解指标产生影响。其中频率对分解指标的影响相对较小，当趋势项频率处于1～5 Hz 之间时，频率对分解指标的影响基本保持不变。而振幅对分解指标影响显著且振幅越小，VMD 法的分解效果越差。当趋势项振幅超过原始爆破信号最大振幅的1/3 后，VMD 法分解效果较好。

图 3 信号1 的VMD 法的分解指标分布图Fig. 3 The decomposition effect of VMD method of signal 1

信号2 的处理结果如图4（a）～（b）所示，其趋势项参数与图3（c）～（d）相同，对比分解指标分布图可以发现，趋势项的频率和振幅对分解指标的影响与信号1 的结果相同，频率影响较小，振幅影响显著，且趋势项振幅超过原始爆破信号最大振幅的1/3 后，VMD 法分解效果较好。由此可见，VMD 分解法消除信号趋势项具有一定的普适性。

图 4 信号2 的VMD 法的分解指标分布图Fig. 4 VMD decomposition effect of signal 2

4 VMD 法与EMD 法识别对比

某隧道工程的爆破施工共设有6 个段别的雷管，起爆后监测的爆破振动信号如图5 所示，图中4 个测点的爆破信号均含有明显的趋势项，以该4 次爆破信号为例，对信号依次进行EMD 法和VMD 法的趋势项去除处理，识别两种方法处理结果的6 个段别雷管对应的最大波峰值并绘制表格，如表1 所示。

图 5 VMD 法与EMD 法的消势结果Fig. 5 VMD and EMD methods

对比图5 中经过EMD 法与VMD 法去除趋势项后的信号，发现两种方法消除趋势的结果接近；表2 中经过两种方法处理的信号的峰值相差不大，最大差值为0.003 m/s，表明与EMD 法相同，VMD 法也具有消除爆破信号趋势项的能力。观察图5 发现，EMD 法处理后的前3 条曲线的起始点都不在0 点，即存在端点效应，而此现象是由EMD 分解的本身算法造成的；且4 条信号曲线都存在趋势项残留问题，例如测点1 曲线在0～0.08 s 时段应该为直线，但是仍然具有波动，说明振动信号的趋势项并没有被完全去除。端点效应以及趋势项残留都会对后续的信号处理工作产生一定的影响。而图5 中经过VMD 处理后的信号既不存在端点效应，也没有较多的趋势项残留，因此相比于EMD 法，VMD 法在去除爆破信号趋势项领域中具有更加广泛的适用性。

表 1 EMD 法与VMD 法去除趋势项后的信号的波峰数值Table 1 Peak value of the signal after removing the trend term by EMD method and VMD method

5 结 论

针对变分模态分解的低频识别优势，详细分析了VMD 算法在爆破信号趋势项去除中的应用，主要得出如下结论：（1） VMD 算法的原理决定了它在低频信号识别中的优势，如果趋势项r(t)的功率谱中心频率ωr(t)在原始信号f(t)的功率谱中起主导作用，则提取出的一阶IMF 分量是信号的趋势项，与k 的取值无关。结合现场数据进行不同k 值的VMD 分解，验证了结论的准确性。（2） VMD 法对不同趋势项产生的分解效果不同，且趋势项的频率与振幅都会对VMD 法分解效果产生影响。其中频率对分解效果的影响相对较小，当趋势项频率处于1～5 Hz 之间时，频率对分解效果的影响基本保持不变。振幅对分解效果影响显著，振幅越小，VMD 法的分解效果越差。（3） VMD 法在消除信号趋势项时，与EMD 法具有相近的识别效果，可以准确地提取出信号的趋势项，具有消除信号趋势项的能力。相比于EMD 法，VMD 法处理后的信号既不存在端点效应，也没有较多的趋势项残留，在去除爆破信号趋势项领域中具有更加广泛的适用性。