基于Kanai-Tajimi谱的单自由度广义Maxwell耗能结构响应及谱矩解法

邹万杰 邬丽霞 李创第 葛新广

摘要：针对单自由度广义Maxwell耗能结构基于kanai-Tajimi谱随机地震激励下响应分析较复杂的问题，提出一种简明解法，利用Kanai-Tajimi谱基于白噪声的滤波微分方程，与广义Maxwell耗能结构的运动方程组成非经典阻尼结构的耗能系统，运用复模态方法获得结构相对位移、相对速度、阻尼器阻尼力和阻尼力变化率基于白噪声激励的协方差统一解析表达式，再利用白噪声激励下谱矩与协方差的简明关系，获得单自由度线性结构响应的谱矩解析表达式，通过与已有方法比较的算例分析证明，提出的方法是一种简明高效的计算方法，

关键词：广义Maxwell阻尼器;Kanai-Tajimi谱;滤波方程;谱矩

中图分类号：TU311.3DOI：10.16375/j.cnki，cn45-1395/t，2020.02.003

0引言

地震是一种突发性并带有随机特性的自然灾害，除了会造成地表建筑结构、设备装置上的破环，通常还会导致大量的次生灾害发生，造成人畜伤亡和财产损失，严重威胁社会经济发展，早己引起国内外专家学者的广泛关注。

粘弹性材料首先在机械振动领域被引用，后被引入土木工程的振动控制领域，目前有复模量模型、一般微分模型、分数导数模型和一般积分型模型等，研究表明：在工程上实际应用中，线性流体粘弹性阻尼器和线性固体粘弹性阻尼器其本构关系均可用参数足够多的广义Maxwell模型精确表示”因此采用粘弹性阻尼器的广义Maxwell模型分析粘弹性耗能结构的响应特性具有较好的工程应用价值，

地震动可分为平稳随机模型和非平稳随机模型，平稳随机模型地震动具有形式较简单、且可以结合演变功率谱表示非平稳激励，故平稳激励在结构随机振动的研究中得到了广泛的应用[12-131.平稳随机激励主要有白噪声激励模型、Kanai-Tajimi谱地震激励模型等，而Kanai-Tajimi谱地震激励模型具有符合地震动描述、表达式相对简单的特点而受到工程技术人员的普遍应用，李创第等用传递函数法等对基于Kanai-Taiimi谱地震模型的单自由度广义Maxwell耗能结构进行求解，获得了结构的响应，在已有文献中，类似的耗能结构的地震响应求解无论是协方差还是功率谱都具有表达式不易积分的特点，存在计算量大且需要数值积分的问题，本文基于Kanai-Tajimi地震激励模型，即将基岩运动视为白噪声激励，场地土看作是单自由度线性滤波器，将其运动方程表示为白噪声的二阶微分振子，与结构的运动方程联合组成非经典阻尼结构的地震系统，再运用复模态法求解出结构的相对位移、相对速度、阻尼器阻尼力以及阻尼力变化率的统一表达式;基于随机振动理论，获得各类响应的协方差;利用Wiener-Khinchin关系，获得各类响应的功率谱简明表达式;最后基于谱矩的定义，获得各类响应0-2阶谱矩的简明表达式，

由本文方法得到的激励Kanai-Taiimj谱式（50）和传统的功率谱式（51）如图4所示，从图中可以看到本文方法与传统方法计算出的功率谱完全重合，而本文方法得到的功率谱表达式为系统特征值的线性组合，更加方便工程应用。

5.2响应与谱矩计算结构响应计算结果如表1。

虚拟激励法需采用数值积分在[0.∞）区间进行求解，是无法实现的，根据功率谱函数特点可知，随着频率ω的增大，功率谱值越来越小，因此取积分区间為[0.10000]，积分间距分别为：①频率积分间距为0.5rad/s;②频率积分间距为0.1rad/s③频率积分间距为0.05rad/s，本文方法和采用虚拟激励法计算结构响应的0-2阶谱矩如表2所示。

由表2可以看出，本文方法与虚拟激励法的谱矩计算误差很小，证明了本文方法的精确性和正确性，且本文方法的计算时间仅用了0.01s，而虚拟激励法则随着积分区间的减小，计算时间成本增加，计算时间远大于本文方法，因此，证明了本文方法的计算效率更高。

6结论

针对广义Maxwell耗能结构基于Kanai-Taiimi谱激励下的结构响应，提出了新的简明解法：

1）将结构运动方程和Kanai-Taiimi谱滤波方程组成非经典阻尼结构的耗能系统，从而将Kanai-Taiimi谱激励转化成以白噪声激励来表示，再应用复模态法将该非经典阻尼系统解耦，求出结构位移响应、速度响应以及阻尼器受力等，解的形式为结构振动特征值指数函数的线性组合，

2）本文方法获得结构响应0-2阶谱矩，由可靠度理论可知，为结构动力可靠度的分析奠定了基础。