基于Kanai-Tajimi谱线性结构随机响应的实模态统一解析法

葛新广 李创第 邹万杰 张梦丹 姜焱

摘要：针对当前计算Kanai-Tajimi谱下结构响应表达式复杂的问题，提出了计算单自由度结构相对位移、相对速度和绝对加速度的解析法，首先，利用三角函数关系，获得单自由度结构相对位移、相对速度和绝对加速度响应的统一杜哈梅积分表达式;其次，基于Kanai-Tajimi随机激励的协方差特点，给出了Kanai-Taiimi随机激励的协方差简明表达式，利用随机振动理论，结合三角函数关系获得单自由线性结构相对位移、相对速度和绝对加速度的统一简明的实模态解析表达式，通过算例，验证了该方法的正确性及计算高效性，并为多自由线性结构随机响应、结构动力可靠度分析提供了新途径，

关键词：Kanai-Tajimi谱;实模态解;统一解析解;随机地震响应

中图分类号：TU318DOI：10.16375/j.cnki，cn45-1395/t，2020.02.002

0引言

地震一直是人类面临的最主要的自然灾害之一，每年均有数次引起人员伤亡和财产损失的地震发生，因此，地震己成为各类工程结构设计时必须考虑的因素，但其在发生时间、地点及强度上具有明显的随机性，故而地震对工程结构的响应分析极其复杂，基于地震激励下的结构安全设计依然是土木工程界的难点和研究热点，Housner于1947年首次用白噪声激励过程描述地震动过程，开创了随机地震动研究的先河，随着地震动记录研究的不断深入，地震过程具有平稳特性和非平稳特性，平稳特性一般发生在地震的初时和终时前一段时间内，而中间阶段具有非平稳性，因此，地震动随机模型的研究分为平稳随机激励和非平稳激励模型两大类，日本学者Kanai和Taiimi于20世纪60年代分别提出了一种平稳地震动随机模型，该模型认为地震动是由岩石震动引起，经过土层传递到地面的结构上，其中把岩石震动看做白噪声，非岩石土看做一个单自由度二阶微分振子表示的滤波器，称之为Kanai-Taiimi模型，Kanai-Taiimi模型能考虑场地土的特性对于地震动影响，是被工程界公认的地震动模型;同时，其他改进的随机地震动模型如Clough-Penzien模型、欧进萍模型等都是在Kanai-Taiimi模型的基础上提出的，此外，各种演变均匀非平稳激励模型均与Kanai-Taiimi模型有关，为此，研究基于Kanai-Taiimj激励下的结构的地震动响应的统一分析方法非常必要。

当前研究结构随机地震动响应的方法，主要有时域法和频域法，时域法是利用实模态或者复模态方法获得结构的振动特性，进而获得结构动力响应的杜哈梅积分表达式，利用随机激励的协方差获得结构响应的协方差，因此该方法的前提是己知随机激励的协方差，Fang等利用复模态方法研究了基于Kanai-Tajimi激励下多自由度结构结构位移响应;李创第等利用复模态方法研究了TMD耗能减震结构基于Kanai-Tajimi激励下的耗能体系的位移响应，以上研究仅获得结构的位移协方差，且结构分析时的振动特征值及响应的表达式均为复数域，工程应用时物理意义不够明确，此外，结构动力可靠度分析时还需要获得结构的速度协方差，结构灵敏度分析时，需要计算结构绝对地震加速度，为此研究基于实模态标准振子的结构地震动位移，速度及加速度响应的解析方法，具有工程应用价值。

频域法也是一种研究随机振动重要方法，其利用结构响应功率谱与地震激励功率谱之间有直接代数关系，而随机地震激励模型主要是以功率谱形式给出，因此，频域法应用较为广泛，虚拟激励法是频域法的典型代表，李春祥等利用虚拟激励法研究了MTMD基于Kanai-Tajimi激励下的动力特性，研究了场地土卓越频率对MTMD最优参数及有效性的影响，贾超等利用地震最大加速度和功率谱强度的代数关系，计算了基于Kanai-Tajimi模型的功率谱密度函数，并获得结构关键位置的内力或者变形等响应值，以上研究仅能获得结构地震动响应的功率谱的表达式，需要对功率谱进行广义积分才能获得结构响应的方差，目前仅能采用数值积分获得结构响应的方差，故频域法存在计算效率和计算精度受数值积分方法影响较大的问题，

利用三角函数变换理论，对Kanai-Tajimi随机激励协方差的表达式进行简化，并应用于结构地震动响应的位移、速度和加速度实模态杜哈梅积分表达式，进而获得单自由度结构的相对位移、相对速度和绝对加速度时域响应的统一杜哈梅积分表达式，最后，基于随机振动理论，得到了单自由线性结构上述响应方差实模态的统一简明解析解。

1单自由结构响应的杜哈梅积分表达式

4算例

建立在7度区二类场地上的单层结构，其质量、刚度分别为9.8x10⁶kg，5.1x10⁷N/m，自振圆频率为2.281rad/s，阻尼比为0.05.地震动采用Kanai-Tajimi谱，根据文献[5]，中等坚硬土场地地震动的阻尼比0.8.卓越频率为16.5rad/s，基岩上的白噪声谱强度因子为0.00694m²/s³，利用Matlab获得其复特性及其对应的实特征如表1所示，相对位移、相对速度和绝对加速度方差如表1所示，其中相对位移方差与文献[14]所提方法计算一致。

5结论

本文运用三角函数关系，在实模态域就单自由度结构基于Kanai-Tajimi随机激励下的相对位移、相对速度和绝对加速度响应的统一解析表达式进行研究，获得如下结论：

1）利用三角函數，可将结构响应的三要素即相对位移、相对速度和绝对加速度统一表达式，并简化了其表示形式，本文无需进行复模态分析所获的是实模态域中结构各类响应的值。

2）利用matlab软件研究了三角正切反函数取值规则，有利于简化三角正弦与余弦函数线性组合表达式。

3）本文方法为经典阻尼基于Kanai-Tajimi随机激励下的结构响应三要素的解析解，对于多自由结构可以化成多个单自由结构，利用SRSS组合，进而获得多自由结构的3种响应的解析解。