源于课本 追本溯源 变本加“利”

刘兴月

【摘要】文章从2019年全国高考数学课标卷试题出发，追溯高考数学试题源于课本之“源”，探究高于课本之“高”，阐述高考数学试题源于课本而又高于课本的命题原则，坚定高考数学复习备考要“紧扣考纲、立足课本”的道路自信;引导教师和学生集中精力踏踏实实研究教科书，做名副其实的“教书匠”和“读书郎”。

【关键词】源于;高于;追溯;课本

众所周知，在现行的高中教学中，普通高中课程标准是制定普通高考考试大纲和指导教科书编写及教学实施的指导性标准。其中，考试大纲是高考命题的依据，高考试题源于课本，教科书是高考命题的材料源。

然而，在实际的教学活动中，或者抛弃教材，或者轻视教材，或者照本宣科等做法比比皆是。

如何在数学教学及高考复习中，坚持“立足课本、回归教材、追本溯源”的教学理念和复习方法，我们需要认真研究。

一、以本为本，源于课本

所谓“源”，即源头、来源，一般指水流发源的地方，引申为起始之地。

高考试题源于教科书，是指高考试题的源头在教科书中，是指高考试题由教科书中的例题、练习题、复习题经过组合、改造和创新而来，两者具有相同的“DNA”，而不是简单地把教科书中的例题、练习题、复习题原封不动地拿来做高考试题。一道数学题，总是有明确的试题背景，已知条件和求解目标，考查内容及对数学知识、数学能力和数学思想方法的考查要求。

高考试题与教科书中的习题之间如果有相同的考查内容和对数学知识、数学能力和数学思想方法的考查要求，那么就可以说它们具有相同的“DNA”。也就是说，高考试题源于教科书。

【例1】（教科书必修（5）103页复习参考题A组第2题）

已知集合，，求.

【例1-1】（2019年全国Ⅰ卷理科第1题）

已知集合，，则（     ）

A.  B.  C.  D.

【例1-2】（2019年全国Ⅱ卷理科第1题）

设集合，，则  （        ）

A.           B.          C.           D.

【例1-3】（2019年全国Ⅲ卷文科第1题、理科第1题）

已知集合，，则（      ）

A.       B.            C.            D.

教科书上的复习题与2019年全国卷中的试题比较，它们都是以考查集合的运算为背景，有着相同的求解目标，突出考查一元二次不等式的解法、集合的交集运算，重点考查运算求解能力和化归与转化的思想方法;不同之处是已知条件中表示集合的不等式不同，试题的题型不同。

不等式的解集与集合的运算，内在的本质联系就是集合，所以考查集合运算的试题往往由教科书必修（1）第一章集合与函数概念与必修（5）第三章不等式的习题组合而成。

【启示一】数学知识间的内在联系才是高考试题源于教科之“源”。所以，回归课本要追本溯源，要挖掘各部分知识在各自发展过程中的纵向联系以及各部分知识之间的横向联系。

几道试题，如果它们有着共同的考查内容和要求，那就称它们具有相同的根和源。

二、高于课本，追本溯源

高考试题不是简单地照抄教科书上的习题，而是以教科书上习题的考查内容与要求为源，按照“出活题、考基础、考能力”的命题原则，对教科书上习题的背景、已知条件及求解结果进行组合、改造、创新而成。

【例2】（2019年全国Ⅲ卷文科第15题、理科第15题）

设、为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若△为等腰三角形，则的坐标为         .

我们通过对该试题的解答来进行【考点透析】。

【考点透析】

设位于第一象限的点………（考查数形结合的思想方法）

由已知及椭圆性质得：，，………（考查椭圆的几何性质）

由，故…………（考查运算求解能力）

又，，故……（考查椭圆的标准方程及其几何性質）

又△为等腰三角形，根据对称性，△的两腰只能为和，所以…（考查逻辑推理能力）

所以……………（考查函数与方程的思想方法）

解得（舍去），（舍去）

所以的坐标为……………（考查运算求解能力）

从考点透析可看出该试题对知识、能力和思想的考查要求是：

1.考查的知识：椭圆的标准方程及其性质;

2.考查的能力：逻辑推理能力及运算求解能力;

3.考查的思想方法：函数与方程及数形结合的思想方法。

再看该试题的解题思路与策略：

引入点的坐标…………………………………以坐标为桥梁

以性质为基础，将形转化为数………………构建方程（一）

以图形的几何性质定形，将形转化为数……构建方程（二）

将共有的几何形转化为数………………………构建方程组

用代数方法解决几何问题…………………………解方程组

求得方程组的解………………………数形结合回答问题

因此，以坐标为桥梁 将形转化为数构建曲线方程      解方程或方程组。用代数方法通过研究方程解决几何图形的问题，这种数形结合相互转化的过程就是此试题的解题思想和策略。

【例2-1】（教科书选修2-1第49页复习参考题中的A组第6题）

已知点是椭圆上的一点，且以点及焦点、为顶点的三角形面积等于1，求点的坐标.

试题背景：椭圆.

已知条件：

1.椭圆的标准方程;

2.动点的运动轨迹;

3.动点与两焦点组成;

4.△的面积为1.

求解目标：点P的坐标.

比较例2与例2-1不难发现，两试题的试题背景（椭圆）及考查内容及要求不变，相同之处即源于教科书之“源”，不同之处在于对“源”材料进行了如下加工改造：

1.椭圆的标准方程;

2.表示动点的字母由变为;

3.动点的运动轨迹及范围，在椭圆上运动，在上但限于第一象限;

4.椭圆上的动点与椭圆的两焦点构成三角形的性质及大小：一个是等腰三角形，一个的面积为1;

5.改换题型，一个是填空题，一个是解答题。

不同之处才是源于课本而又高于课本之“高”。而无论怎样加工改造，同根同源的试题都有着相同的解题思路与策略，这就是多题一解的根本原因。

【启示二】高考试题虽然高于课本，但它毕竟源于课本，万变不离其宗。我们只要立足课本，牢牢抓住课本习题的考查内容及要求，熟练应用“源”习题的解题思路与策略，就能够举一反三，灵活解答试题。

三、立足课本，变本加“利”

认识世界的目的是为了更好地改造世界。我们需要的不仅是认识到高考试题源于课本而又高于课本，还要学会登“高”。

在保持试题“DNA”不变的情况下，命题者出了以下试题。

【例2-2】（2019年全国Ⅲ卷文科第10题）

已知是双曲线上的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（      ）

A.                 B.              C.      D.

【例2-3】（2019年全国Ⅲ卷理科第10题）

双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点.若，则△的面积为（      ）

A. B.             C.              D.

比较它们的差异，就可以看出命题者是怎样“改造世界”的。

1.改变试题背景。例2-2及例2-3都将试题背景由椭圆变为双曲线，但都是圆锥曲线，可谓异曲同工。

2.改变动点的运动轨迹。例2-2中的动点在双曲线上;例2-3中的动点在双曲线的一条渐近线上。

3.变已知条件为求解目标。“源”中例2-1的△的面积为1是已知条件，而高于“源”的高考试题例2-2及例2-3的求解目标是△的面积。

4.改变三角形三个顶点的位置，组成不同的三角形。“源”中例2-1的动点与两焦点组成三角形△;而高于“源”的高考试题例2-2及例2-3的三角形是由动点、双曲线的右焦点及坐标原点组成。

5.改变三角形性质的表达方式。“源”中例2-1的△是等腰三角形，而高于“源”的高考试题例2-2及例2-3的三角形，虽然表达方式变成PO|—|PF|，其实仍然是等腰三角形。

【启示三】高考命题始终坚持“稳中求变，变中求新”的命题理念，“稳”即稳在试题的源头教科书，“变”则是永恒的，但万变不离其宗。所以，以本为本，回归课本，必须扎扎实实深入研究教科书，充分发挥教科书的多种效应。

【探究】

1.如果把试题背景改为抛物线：抛物线，焦点为，坐标原点为.

2.动点在上运动.

3.则动点、焦点、坐标原点构成△（或构造其他三角形）.

4.再对△的特点做不同设计：如等腰、等边或直角三角形，或给定△的面积，或求△面积的最大值.

5.按4的不同设计，求动点的坐标.

6.对上述中的与两个参数，又可给定其中一个求另外一个.

如果让学生动手参与探究，并且提出问题：

1.动点在抛物线的准线上运动呢？

2.动点还可以和哪两个点组成三角形？

3.动点能不能和哪些点組成四边形？

充分调动并发挥学生的想象，就会创造出不同的试题。

【启示四】教科书是课程标准的具体体现，是学生获取书本知识的主渠道，是教师实施教学的基石，是师生间进行建设性对话的文本和材料，是高考命题取之不尽、用之不竭的源泉。

要挖掘各部分数学知识在各自发展中的纵向联系和知识之间的横向联系，构建数学知识网络，通过分类、梳理、综合， 讲清、讲透、讲活数学基本知识、基本技能和基本的思想方法。

要注重对教材中的重要例题和习题所反映的相关数学理论本质属性的研究，从中提炼出所蕴藏的数学重要思维方法和思想精髓，并对这类数学问题进行类比、延伸、迁移和拓展，从而更加有效地巩固基础知识，发展数学能力，提升学生的数学素养。

【参考文献】

教育部考试中心.2019年普通高等学校招生全国统一考试大纲正式公布：理科数学[EB/OL].（2019-01-31）.http：//gaokao.eol.cn/gkdg/jiedu/201901/t20190131_1643892.shtml.