深挖信息想思路正方形中显身手

向晓琳

【摘要】与正方形有关的几何证明题，一般看似简单，实则难度系数很大.只要能够充分挖掘出正方形的性质以及题目中的信息，正确添加辅助线，一般都能迎刃而解.

【关键词】正方形;对角线;相等;2;线段的比

初中几何题，一般喜欢和正方形结伴而行，题目条件给得简单，但要想解决问题，则并不简单.如何寻找解题思路，下面就以具体例题来说明.

一、典例展示

在正方形ABCD中，BD为其对角线.

（1）如图1所示，若E，F分别在BD，BC上，且AE⊥EF于E，AE与EF有怎样的大小关系？请说明理由;

（2）如图2所示，AC交BD于O，OQ⊥OP于O，OQ交BC于Q，OP交DC于P，∠QPC的角平分线PT交OC于T.求证：BC-QP=2TC;

（3）如图3所示，在OB，OC上取M，N，过O作OG⊥MC交BC于G，过N作NH⊥MC交BC于H，若BG=45GH，求OMON的值.

二、方法探究

1.方法：利用正方形的对角线平分对角，构造全等三角形.

解 分别过E作EG垂直AB于G，EH垂直BC于H.

∵BD平分∠ABC，∴EG=EH.

∵∠AEG+∠GEF=90°，∠GEF+∠FEH=90°，∴∠AEG=∠FEH.

又∵∠AGE=∠FHE，

∴△AGE≌△FHE，∴AE=EF.

點拨 在正方形中，证明线段相等，一般通过证三角形全等来解决.其他如线段的中垂线、角的平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定，也经常用到.在此题中，要充分利用正方形的性质去解题，如果忘记它的性质，那此题就要花费一番功夫才能做出来.辅助线的作法也要讲究技巧，在构造全等三角形时，要把所证的两条线段，放在所证的两个三角形中.

2.方法：利用对角线平分对角，转化到等腰直角三角形中.

证明 ∵∠BOQ+∠QOC=90°，∠COP+∠QOC=90°，

∴∠BOQ=∠COP.

又∵BO=CO，∠OBQ=∠OCP=45°，

∴△OBQ≌△OCP，∴OQ=OP，

∴QP=2OP，∠OPQ=45°.

∵OB=OC，∠BOC=90°，∴BC=2OC，

∴BC-QP=2OC-2OP=2（OC-OP）.

∵PT是∠QPC的角平分线，∴∠QPT=∠CPT.

∵∠OPT=∠OPQ+∠QPT=45°+∠QPT，∠OTP=∠OCP+∠CPT=45°+∠CPT，

∴∠OPT=∠OTP，∴OP=OT，

∴BC-QP=2（OC-OP）=2（OC-OT）=2TC.

点拨 在正方形中，一看见45°，2，就要想到直角三角形，斜边是等腰直角边的2倍.此题不适合采用截长补短法.在此类题型中，要学会因果互推，俗称“首尾碰”，即从因导果法和执果索因法的综合运用.即由已知条件出发，联系基础知识和基本经验，推出可能得出的所有结果;又从要证明的结论出发，逆推使结论成立的条件，在前面的“结果”和逆推条件中找到共同点，从而找到证明思路.

3.方法：利用垂直得平行，再转化证相似.

解 延长BD和HN，交于P.

∵OG⊥CM，NH⊥CM，∴OG∥NH，

∴BGGH=OBOP=OCOP.

∵∠OCM=90°-∠OMC，

∠P=90°-∠OMC，

∴∠OCM=∠P.

又∵∠MOC=∠NOP，∴△OMC∽△ONP，

∴OMON=OCOP，∴OMON=BGGH.

∵BG=45GH，∴OMON=45.

点拨 有平行线，想到线段成比例定理，用三角形相似得对应边成比例，通过中间比，达到完美转化的目的.

一般做几何证明题，尤其是与正方形有关的题目，更要根据题目中的已知条件，利用数学公理、定理、法则、公式、图形性质等说明结论推导的过程.许多学生在遇到几何证明题时，无从下手，茫然不知所措，根本原因就是基础知识储备不够.有的几何证明题，就题目所给已知条件及图形所给条件无法建立已知和求证的联系，此时，可以尝试添加辅助线帮助解题.在寻找证明思路时，对条件中折射出的信息，要尽可能多地挖掘出来.

【参考文献】

[1]王正超.深挖习题 激活思维——对一道几何题的探究与推广[J].数学教学通讯，2013（5）：62-64.