例析八年级数学“将军饮马”模型中线段和的最值问题

谭艳霞 陈秋月

【摘要】近年来，最值问题成为中考热点之一，时常出现在压轴题中.本文主要借助“将军饮马”模型，“化折为直”的转化思想，解决在不同几何图形中线段和的最值问题.

【关键词】将军饮马;三点共线;最值

古希腊一位将军骑马要从A地出发到河边让马饮水，然后再去同侧的B地.怎样选择马饮水的位置C，才能使马走得路程最短呢？最短路程是多少？如图1所示.

做法：1.选择其中一个定点如点A，作点A与动点C所在直线l的对称点A′.

2.连接对称点A′与另一个定点B，与直线l的交点即为要求的点C.

3.所连线段的长A′B即为所求的线段和的最小值.

“将军饮马”利用“轴对称”的性质实现化折线为直线，实质是当三点共线时，两线段和取得最小值.攻略是先找线再找点，即关键抓住两点：确定动点所在的直线，确定两个定点.掌握了这个知识点后，我们就来大展身手吧.

一、与三角形相结合的试题

如图所示，已知等边△ABC的边长為8，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一动点，求PE+PC的最小值.

分析 求线段和最小值，想到“将军饮马”模型.要解决这个问题，首先要确定什么呢？两个确定：

（1）确定动点所在的直线（即为对称轴），由P为BD上一动点，确定直线： BD ;

（2）确定两定点：由PE+PC及题意可知，两定点： 点E和点C .

3.确定直线和定点后，其做法为：① 做其中一个定点的对称点，② 连接另一个定点，③ 与对称轴交于一点即为所求点.

解 ① 做对称点：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，

∴BD⊥AC，AD=DC，即点C的对称点为点A.

② 连接AE.

③ 与线BD交于一点P，此时线段AE的长即为PE+PC最小值，点E是边BC的中点，∴AE⊥BC，EC=4.

∵AE2=AC2-EC2，∴AE=43，

故PE+PC的最小值是43.

二、与四边形相结合的试题

如图所示，正方形ABCD的边长为2，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，求这个最小值.

分析 求线段和最小值，两个确定：

（1）确定动点所在的线（即为对称轴），在对角线AC上有一点P，确定线： AC ;

（2）确定两定点：由PD+PE及题意可知，两定点： 点D和点E .

解 由于点B与D关于AC对称，即过点D作关于线AC的对称点为B，连接BE，与AC的交点即为点P.

∵点B与D关于AC对称，

∴PD=PB，

∴PD+PE=PB+PE=BE最小.

∵正方形ABCD的边长为2，

∴AB=2.

又∵△ABE是等边三角形，

∴BE=AB=2，∴所求最小值为2.

三、与一次函数相结合的试题

一次函数y=kx+b的图像与x，y轴分别交于点A（2，0）、B（0，4）.

（2）O为坐标原点，设OA，AB的中点分别为C，D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标.

分析 求线段和最小值，两个确定：

（1）确定动点所在的线（即为对称轴），P为OB上一动点，确定线： OB ;

（2）确定两定点：PC+PD的最小值可知，两定点： 点C和点D .

解 设点C关于点O的对称点为C′，连接C′D交OB于P′，连接P′C，则PC=PC′，

∴PC+PD=PC′+PD=C′D，

即PC+PD的最小值是C′D.

连接CD，在Rt△DCC′中

CD=CC2+CD2=22，

即PC′+PD的最小值为22.

∵OA，AB的中点分别为C，D，

∴CD是△OBA的中位线，

∴OP∥CD，CD=12，OB=2.

∵C′O=OC，∴OP是△C′CD的中位线，

∴OP=12，CD=1，∴点P的坐标为（0，1）.

四、四边形与一次函数综合的试题

已知函数y=-43x+8与x轴和y轴分别交于D，C两点，长方形OCAB在第一象限，点E在AB上，沿CE折叠，点A恰好与点D重合.

（1）求直线CE的解析式;

（2）在x轴上找一点P，使PC+PE的和最小，并求P点坐标.

分析 （2）中求线段和最小值，两个确定：

① 确定动点所在的线（即为对称轴），在x轴上找一点P，确定线： x轴 ;

② 确定两定点：由PC+PE及题意可知，两定点： 点C和点E .

解 （1）当x=0时，y=8，当y=0时，x=6，

故点C的坐标为（0，8），点D的坐标为（6，0），

则OC=8，OD=6，

由勾股定理得CD=OC2+OD2=10

由翻折变换的性质可知，AC=CD=10，BD=OB-OD=4，

设BE=x，则DE=AE=8-x，

由勾股定理得DE2=BD2+BE2，

即（8-x）2=42+x2，

解得x=3，

则点E的坐标为（10，3），

设直线CE的解析式为y=kx+b（k≠0），

则10k+b=3，b=8，

解得k=-12，b=8，

故直线CE的解析式为

y=-12x+8.

（2）∵点C关于x轴的对称点为C′，

∴点C′的坐标为（0，-8），

连接EC′，交x轴于P，则PC+PE的和最小，

设直线EC′的解析式为y=ax+c，

则10a+c=3，c=-8， 解得a=1011，c=-8，

直EC′的解析式为y=1011x-8，

y=1110x-8与x轴的交点P的坐标8011，0.

对于线段和求最小值的问题，无论题目是镶嵌在哪个几何图形中，是简单还是复杂，只要确定两点：线与两定点.则其余的问题都可迎刃而解.

依托“将军饮马”模型，更换研究的背景，如三角形、四边形、函数及其综合，使学生领悟不变的是本质：三点共线时取最值，变化的只是形式.解决问题所采的方法就是化折为直，通过轴对称的性质，把未知的问题转化为已知的问题.当我们遇到新的问题时，我们就要想到怎样把它转化成已学过的问题.