部分线性模型中的广义差分混合Liu型估计

叶义琴，李 荣，张筑秋

(贵州民族大学 数据科学与信息工程学院，贵阳 550025)

0 引言

在计量经济学的研究中，单一的线性关系往往不能准确地刻画自变量与因变量之间的关系，这个时候若仍用线性回归模型来拟合研究，显然模型的解释度不高.为了更好地刻画自变量和因变量不是单一线性关系的情况，针对气候与电力关系的研究，Engle等[1]引入了部分线性模型，此后部分线性模型被广泛研究，如王咪咪等[2]为了研究金融市场中股市交易日的上证指数数据，提出了函数型部分线性自回归模型,并用剖面最小二乘方法求解了该模型的参数估计，这使得部分线性模型的研究不断深入、不断丰富.

更进一步，考虑实际问题中往往已有回归系数向量的一些经验信息，当经验信息为线性约束时，文献[10]基于差分的方法，提出广义差分约束岭估计.当经验信息为随机约束时，Akdeniz等[11]给出了广义差分混合估计、广义差分加权混合几乎无偏两参数估计.按上述条件，本文结合Liu型估计方法和差分估计方法，先定义广义差分Liu型估计，再提出回归系数向量附带随机约束的一类新估计，即下文提到的广义差分混合Liu型估计.

1 估计的提出

带随机约束的部分线性模型的一般形式是：

(1)

其中：y为n维的随机向量，X为n×p的设计矩阵，f为n维的非参数函数向量，ε～N(0,σ2V)为n维的随机误差向量，V为已知的正定矩阵，r为q维的随机向量，H为已知的q×p维的行满秩矩阵,η～N(0,σ2U)为q维的随机误差向量，U为已知的正定矩阵.记f=(f(t1),f(t2),…,f(tn))′，我们假定f存在一阶导且一阶导函数有界，ti,i=1,2,…,n满足0≤ti≤1.同时，假定ε与η不相关.

参考Yatchew的差分方法[6]，对模型(1)中第一式左右两边同时左乘差分矩阵D，可得:

Dy=DXβ+Df+Dε,

(2)

其中:

(3)

这里，d0,d1,…,dm表示差分权重，m表示差分的阶数，式(3)中的d0,d1,…,dm满足下列条件:

(4)

由于f的一阶导数有界,则式(4)使得式(2)中的Df≈0.

若记yD=Dy,XD=DX,εD=Dε，则带随机约束的部分线性模型可简写成：

(5)

其中εD～N(0,σ2DVD′).

(6)

则根据最小二乘法，式(6)的广义差分最小二乘估计为:

(7)

特别是，当式(7)中的V=I时，可得由Yatchew提出的差分最小二乘估计:

(8)

为了下面讨论的方面，更进一步，可将模型(6)和式(1)的第二式化为如下典则形式：

(9)

(10)

要得到该估计，所运用的目标函数为：

(11)

(12)

对式(12)进行最小化，计算得到广义差分Liu型估计的定义为：

(13)

现在考虑带随机约束的情形.根据文献[11]，广义差分混合估计为：

(14)

要得到该估计，其目标函数为：

(15)

综合式(12)和式(15)建立以下目标函数：

(16)

最小化式(16)，求解得到广义差分混合Liu型估计：

(17)

通过定义该估计有：

2 估计的优良性

(18)

现在计算式(17)可得：

(19)

记ΛH=Λ+J′U-1J,ΛdH=ΛH+dI,ΛkH=ΛH+kI,Λd=Λ+dI,Λk=Λ+kI.

当式(19)中H=0,k=d时，可得到式(10)的MSEM为

(20)

当式(19)中k=d时，可得到公式(14)的MSEM为：

(21)

当式(19)中H=0时，可得到式(13)的MSEM为：

(22)

于是经过计算之后得到如下定理：

下面分别证明定理1、2、3.

证明将式(21)和式(19)作差得：

(23)

由于(Λ+J′U-1J)-1=Λ-1-Λ-1J′(U+JΛ-1J′)-1JΛ-1，结合式(20)、(21)，有：

(24)

对于式(19)等同于：

(25)

故定理3得证.

注当k=1时，在模型(1)的形式下，定理1～3和Wu[14]提出的广义差分混合Liu估计中的定理相符.

3 数值模拟

为了知道估计的优良性，本节通过对估计的均方误差MSE(MSE=tr(MSEM))进行具体的数据分析，数据来源于文献[14].

带随机约束的部分线性模型为：

解释变量xij可通过文献[15]的方法产生，方法如下：

其中的zij表示独立标准正太伪随机数，指定γ使得任意两个解释变量之间的相关性给定为γ2.对于非参数函数：f(ti)=1+4(e-550(ti-0.2)2+e-200(ti-0.5)2+e-950(ti-0.8)2)；对于V,H,U分别为:

取n=100,γ=0.9,0.99,0.999.当p=4时，与估计相关的差分矩阵为:

表1 当n=100、σ2=0.10、γ=0.9时，估计的MSETab.1 MSE of estimators when n=100,σ2=0.1,γ=0.9

表2 当n=100、σ2=0.10、γ=0.99时，估计的MSETab.2 MSE of estimators when n=100,σ2=0.1,γ=0.99

表3 当n=100、σ2=0.10、γ=0.999时，估计的MSETab.3 MSE of estimators when n=100,σ2=0.1,γ=0.999

由表1～3可知：

4 结语

针对部分线性模型带随机约束的有偏估计问题，首先定义广义差分Liu型估计并提出广义差分混合Liu型估计.其次，在均方误差矩阵意义下讨论了所提出估计的优良性.最后，进行模拟实验并发现：提出的新估计广义差分混合Liu型估计在均方误差准则下优于广义差分最小二乘估计、广义差分Liu型估计、广义差分混合估计,从而表明新估计能处理模型存在复共线性的问题并消除随机误差相关的影响.