一类四维时滞前馈神经网络模型的Hopf分支

王殿宏，王文龙，李 雪

(东北林业大学 数学系，哈尔滨 150040)

图1 四维前馈神经网络Fig.1 Four-dimensional feed-forward neural network

近年来，神经网络因其在模式识别、联想记忆、组合优化、自动控制等领域的广泛应用，受到越来越多的关注.神经网络的相关研究始于20世纪40年代.1943年，美国Mcculloch和Pitts首先提出了一种神经元的数学模型，即MP模型[1].1982年，美国物理学家Hopfield提出了Hopfield神经网络(HNN)模型[2].后来，许多学者提出并研究了大量的神经网络模型，并取得了显著成果，如细胞神经网络和双向联想记忆等[3-4].

随着生物学、神经网络等领域研究的不断深入，时滞动力系统的相关理论被广泛应用到这些领域中[5-7].由于外界干扰和信息处理速度有限，动力系统不可避免地存在时滞，时滞是影响系统动态行为的一个关键因素.而动力学系统除了研究稳定性[8-9]外，还可研究其它动力学行为，如振荡、混沌、多周期和不稳定等[10].因此，许多科研工作者相继对时滞神经网络的动力学行为进行研究[11-12].魏俊杰等[13]研究了具有时滞的二维网络神经模型的分支，王春梅等[14]研究了一类具有时滞的三维神经网络模型的分支与稳定性，李秀玲[15]研究了具有时滞的四维神经网络模型的分支问题，本文对图1所示的四个神经元的前馈神经网络模型进行研究.

由图1，可建立如下方程：

(1)

其中ui(t)(i=1,2,3,4)表示第i个神经元t时刻的活跃状态，a，b为连接权值，τ≥0表示神经元传输时滞.关于活跃函数f，在本文中假定：

(H1)f∈C1，f(0)=0，f′(0)=1；

在(H1)的条件下，系统(1)在平衡点(0,0,0,0)的特征方程为:

(2)

其中Δ1=λ+1-(a+b)e-λτ，Δ2=λ+1-ae-λτ.

本文主要研究内容如下：针对模型(1)，利用中心流形定理和规范型理论，讨论了该模型产生Hopf分支的条件，假设输出函数为双曲正切函数，以μ作为分支参数计算其产生Hopf分支的直到三次项的约化规范型，并研究了Hopf分支周期解的稳定性及分支方向；最后通过数值模拟仿真，对理论结果进行了验证.

1 Hopf分支存在性

定理1 如果(H2)a+b<-1,-1

i) 当τ∈[0,τ0)时，系统(1)在平衡点(0,0,0,0)处是局部渐近稳定的.

ii) 当τ=τj(j=0,1,…)时，系统(1)在平衡点(0,0,0,0)处产生Hopf分支，其中：

证明i) 当τ=0时，那么特征方程(2)的根分别为λ1=a+b-1<0和λ2=a-1<0，即平衡点(0,0,0,0)渐近稳定.

所以，当τ∈[0,τ0)时，Δ1=0的根都具有严格负实部.

综上可得，当τ∈[0,τ0)时，特征方程(2)的根都具有严格负实部，即系统(1)在平衡点(0,0,0,0)处是局部渐近稳定的.

ii) 由Hopf分支产生的条件可知，当τ=τj(j=0,1,2，…)时，系统(1)在平衡点(0,0,0,0)处产生Hopf分支.

2 Hopf分支规范型

假设输出函数为双曲正切函数，将其作为神经元的触发非线性函数.即:f(·)=tanh(·).

则系统(1)变为:

(3)

定理2 假设条件(H2)成立，当τ=τ0时，以μ为分支参数，系统(3)在平衡点(0,0,0,0)处产生Hopf分支的直到三次项的约化规范型为:

(4)

则系统(3)可写为：

(5)

对于φ∈C,定义:

(6)

其中η是定义在[-1,0]上的有界变差函数矩阵，令η(θ)=τAδ(θ)+τBδ(θ+1)，δ(θ)是Dirac delta函数，则:

通过计算可得：

将相空间C分解为：C=P⊕Q，其中Q={φ∈C|(ψ,φ)=0,ψ∈P*}.在扩充相空间BC中，系统(5)可以写成抽象的常微分方程：

(7)

其中A是无穷小生成元A0的延拓[17].

定义投影映射π:BC→P，满足：

π(φ+X0α)=Φ[(Ψ,φ)+Ψ(0)α].

(8)

则空间BC可分解为：BC=P⊕kerπ，于是系统(7)可写成：

(9)

其中x∈C2，y∈Q1=Q∩C1⊂kerπ，C表示复数域.

令u=Φx+y代入系统(9)并展开可得：

(10)

其中：

(11)

其中：

由式(11)可知：

μx1e1，μx2e2

在中心流形中，方程(10)可写为如下形式的规范型：

(12)

所以，系统(3)在平衡点(0,0,0,0)处产生Hopf分支的直到三次项的约化规范型为式(4).

令x1=r(cosθ-isinθ)，x2=r(cosθ+isinθ)，并忽略高阶项，则系统(4)可以写成:

(13)

根据文献[18]，得到以下定理.

定理3 如果-并且μ足够小，则:

(14)

是系统(13)的周期轨道.

定理4 对于系统(13)，

i) 当μ<0时，原点是渐近稳定的；

ii) 当μ>0时，原点是不稳定的；且此时产生渐近稳定的周期解.

3 数值模拟

针对系统(3)产生Hopf分支的情形进行数值模拟.取a=-0.5,b=-0.6时，条件(H1)，(H2)成立，系统(3)在平衡点(0,0,0,0)处产生Hopf分支.计算得，ω0=0.458 3,τ0=5.917 8.

取μ=-1.417 8<0，则τ=τ0+μ=4.5时，由定理4可知，此时平衡点(0,0,0,0)是局部渐近稳定的，如图2.

取μ=0.082 2>0，则τ=τ0+μ=6，由定理4可知，此时平衡点(0,0,0,0)是不稳定的，如图3；并且此时会产生渐近稳定的周期解，如图4.

图2 τ=4.5<τ0=5.178，平衡点(0,0,0,0)局部渐近稳定Fig.2 The local asymptotic stability of equilibrium point(0,0,0,0)when τ=4.5<τ0=5.178

图3 τ=6>τ0=5.9178，系统(3)出现周期解Fig.3 The periodic solution of system (3) when τ=6>τ0=5.917 8

图4 系统(3)周期解的稳定性Fig.4 Stability of periodic solution of system (3)

4 结语

本文研究了一类四维时滞前馈神经网络模型(1)，对该模型产生Hopf分支的情形进行讨论，利用中心流形定理和规范型理论，以μ为分支参数计算相应的规范型，得到了系统产生Hopf分支周期解的条件，并给出了分支周期解稳定性及分支方向的判别条件.最后，通过计算机数值模拟仿真，对理论结果进行了验证.