球拍底板特性对乒乓球运动轨迹的影响

李 江，李 春，谢用民，李 根

(1.黔南民族职业技术学院，云南 贵州 558022；2.上海理工大学能源与动力工程学院，上海 200093；3.贵州经贸职业技术学院，云南 贵州 558022)

由于赛璐珞乒乓球存在隐患，国际乒联在2013年5月通过决议：2014年7月1日起，包括公开赛及总决赛在内的重大国际比赛都将使用新型塑料乒乓球。至此，有着120多年历史的赛璐珞球退出历史舞台[1]。器材的革新，势必引起乒乓球运动特性的改变和运动员技、战术的调整。同时，由于乒乓球拍是比赛中最重要的器材之一，新尺寸与新材料乒乓球的应用对球拍的结构和性能提出了新的要求。因此，乒乓运动也必将迎来一次大变革浪潮[2]。

王奇志的文章[3]改进了运动学模型的算法，考虑了空气阻力对乒乓球飞行速度的影响，将速度作为动态反馈参数，并采用OPENGL的3D仿真平台进行直观分析并预测轨迹，结果表明算法具有较高的准确性。Nonomura J等学者[4]通过乒乓球的对称性特征，将其表面一半的面积划分为九个区域，忽略飞行过程中旋转速度的影响，确定了升阻力系数，分析了球体碰撞和空气动力学特性，为乒乓球机器人预测乒乓球运动轨迹提供了理论基础。Nakashima A等学者[5]通过开发飞行旋转球实时测量方法，基于明确的球体运动物理模型建立了机器人乒乓球击球系统；通过设定球拍的仰角和击球的发射角度，求得了碰撞发生后球体的空气动力学特性、球拍回弹方向和机器人挥拍速度；通过与实验数据的对比，验证了该方法的有效性。

本文采用无网格格子Boltzmann方法(Lattice Boltzmann Method，LBM)对乒乓球三维非定常流场进行求解，采用粒子和具有完整拉格朗日函数的方法对格子Boltzmann-BGK方程和不可压缩的Navier-Stokes方程进行求解，研究了碰撞发生时弹性恢复系数对乒乓球运动轨迹的影响，分析乒乓球运动轨迹及运动参数随时间变化曲线，并且通过乒乓球运动过程中的瞬态流场细微结构得到影响球体运动诸参数的流动机理。

1 理论基础

1.1 恢复系数

恢复系数是表征碰撞时物体变形恢复能力的参数，其定义为碰撞前后两物体接触点法向相对分离速度与法向相对接近速度之比。只与碰撞物体的材料有关。恢复系数越大，碰撞后恢复能力越强。

恢复系数可用下式表示：

e=(u2n-u1n)/(v2n-v1n)

(1)

式中，u1n和u2n为两物体碰撞后速度沿碰撞面法向的投影；v1n和v2n为两物体碰撞前速度沿碰撞面法向的投影[6]。

1.2 无网格方法

无网格方法(meshfree method)是基于点的近似构造形函数(trial function)而不需要考虑节点间的关联方式，是科学和工程计算的一种新的数值模拟方法。在塑性材料模拟中，材料出现较大变形，传统有限元无网格方法无法保持网格的连通性，可能会出现模拟错误的问题。无网格方法构造形函数与有限元法等基于网格形成形函数不同，可将模拟对象的动力学属性赋予给节点，而不需再分配给网格元素。因此，建立求解方程的方法可以和有限元法达到一样的效果[7]。

1.3 格子Boltzmann方法

格子Boltzmann方法以介观动理学模型为基础，通过求解描述粒子运动的方程从而获得宏观信息，包括：速度、压力以及温度等。式(2)为Boltzmann方程[8]。

fi(r+eiδt,t+δt)-fi(r,t)=Si(r,t)

(2)

式中，r为自封闭系统内格子的一个格点；ei为流体第i个粒子的离散速度集合；δt为离散时间步长；t为当前时间步；fi是以速度ei运动的速度分布函数；Si(r,t)为碰撞算子项，表示分子碰撞对速度分布函数的影响[9]。

2 参数和建模

图1为乒乓球的计算域，其尺寸为：3.5×1.5×2.5 m。由于研究的对象为乒乓球的弹性恢复系数，将乒乓球拍简化为长方体板，对计算结果不会造成任何影响。外围流场求解尺度为0.1 m，尾迹加密尺度为12.5 mm，乒乓球边界求解尺度为6.25 mm，球拍表面求解尺度为12.5 mm。仿真计算条件：仿真环境温度取t=30 ℃，空气密度ρ=1.165 kg/m3，动力黏度μ=1.86·10-5Pa·s，乒乓球直径D=40 mm，乒乓球质量为2.7 g，重力加速度为9.81 m/s2。乒乓球在x轴方向(长度方向)的速度vx=6.0 m·s-1，在y轴方向(高度方向)的速度vy=0 m·s-1，在z轴方向(宽度方向)vz=0 m·s-1；乒乓球转速：ωx=ωy=0 rad·s-1，ωz=80 rad·s-1，乒乓球初始位置(0，0.2，0.7)m。计算截止时间取t=0.3 s。

根据论文乒乓球拍底板特性碰撞动力学分析计算可得：纯木底板材料的碰撞恢复力系数e1=0.596；碳素底板材料的碰撞恢复力系数e2=0.715。

图1 计算域

3 结果与分析

图2为四种不同弹性恢复系数的乒乓球运动轨迹图。其中，e1=0.596和e2=0.715分别为纯木底板和碳素底板的弹性恢复系数。

图2 乒乓球轨迹图

由图2可知：四种工况下的乒乓球与球拍碰撞之前轨迹完全相同；碰撞发生后，乒乓球轨迹在y轴方向产生较大偏差，即弹性恢复系数越大，碰撞后轨迹终点线越高。其中，球与纯木底板(e1=0.596)和碳素底板(e2=0.715)碰撞后轨迹终点线分别为(1.66540，0.03409)和(1.66288，0.05596)，以乒乓球半径为基准，e1=0.596与e2=0.715轨迹x轴方向偏差为0.15%，在y轴方向偏差为39.07%。

图3为乒乓球运动过程中速度随时间变化图，图4为乒乓球运动过程中旋转速度随时间变化图。

图3 球运动过程中y轴速度随时间变化图

图4 球运动过程中x轴旋转速度随时间变化图

图3及图4表明乒乓球沿y轴的运动速度和x轴的旋转速度在运动过程中随时间变化而变化，各方向运动速度及旋转速度变化趋势相同，但数值有较大的差别。x轴球体前进方向速度数值因受到空气阻力作用在运动过程中逐渐减小，与桌面碰撞后速度发生突降；y轴运动速度因重力及Magnus作用力等多重作用力综合作用在运动过程中先减小后增大，在与桌面碰撞后乒乓球速度方向瞬时发生变化，并产生一定的速度损失；z轴运动速度有较小的变化，与桌面碰撞时三者速度都会发生突变。

四种工况下，乒乓球旋转速度在碰撞前，变化趋势完全相同；碰撞发生后，各轴旋转速度均发生突变。由x轴旋转速度图可得，弹性恢复系数不同时，旋转速度的方向和大小变化较为明显，即弹性恢复系数对球体运动过程中旋转速度的影响较大。

4 结论

(1)四种工况下的乒乓球与球拍碰撞之前轨迹相同；碰撞发生后，乒乓球轨迹y轴方向产生较大偏差，即弹性恢复系数越大，碰撞后轨迹终点线越高。

(2)球与纯木底板和碳素底板碰撞后反射角度分别为e1=0.596时为25°，e2=0.715为26.8°，弹性恢复系数越大，碰撞后反射角度越大。弹性恢复系数对球体运动过程中运动速度和旋转速度影响较大。