循法 推理 关联——初中数学几何问题“自然性”设计的视角与实践

□邵文鸿

（杭州市富阳区永兴学校初中部，浙江杭州 311400）

触发学生积极思维是数学课堂教学的应有追求.用“问题”引发学生思考是我们常用的教学策略.在实际的教学过程中，教师呈现的问题不“自然”，是造成不能有效激发学生思考的重要原因.所谓数学问题“自然性”设计，是指设计的数学问题能契合研究方法，符合数学逻辑，构建知识结构.现以初中几何内容学习为例，从三个角度谈谈数学问题“自然性”设计的策略，以期抛砖引玉.

一、从几何研究的方法角度设计问题

几何学习一般遵循从定义、概念出发，研究图形的性质与判定，再去研究图形性质与判定应用的学习“流程”.除此之外，我们也可以从构成几何图形要素性质迁移以及几何图形性质与判定互逆的角度来研究几何问题.

（一）从几何要素性质迁移的角度

一般几何图形的性质主要研究构成图形的要素与相关要素之间有何稳定的关系.我们可以从一个或几个要素具有的性质的角度，提出其他要素是否具有类似关系的问题.这就是从几何图形要素性质迁移的角度提出问题.

案例1：图形旋转的探究

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=a，△ABC绕点C逆时针旋转α 角 度 得 到 △A'B'C.（0°≤α≤ 360°）

问题1：请探究A'B'与AB的夹角与旋转角的关系.

问题2：请探究AA'与BB'的数量关系和位置关系.

图1

【设计解析】问题1中的∠ACA'、∠BCB'是由△ABC与△A'CB'中两条对应边构成的旋转角，发现∠BCB'等于旋转角，现从△ABC与△A'CB'的组成要素考虑，自然提出第三条边AB与A'B'的夹角与旋转角的关系.问题2是在问题1研究三条边的位置关系后，自然提出图形旋转后对应点连线段的数量关系与位置关系，从中找出对应点连线段中蕴含的关系与原△ABC形状与数量关系的本质联系.

（二）从几何图形性质与判定互逆的角度

几何图形的判定定理本质上是描述确定一个图形的条件.研究图形的判定定理会产生两个问题：一是确定这个图形最少需要几个条件？二是确定这个图形需要的条件从哪里找？从学生的角度会想到确定图形需要的最少条件可以采用逐步减少条件的办法.确定图形需要条件从哪里来的问题需要为学生探究提供线索；确定图形需要的条件产生可以从图形性质定理的逆命题中去寻找，这样的问题设计是比较自然的.

案例2：平行四边形判定定理的发现

如图2，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O.

图2

问题3：从边、角、对角线的角度来看，结合图形，你能写出▱ABCD的哪些性质？

问题4：请你写出这些命题的逆命题，并把它们排序整理，你认为可以分为哪几类？

问题5：你写出的逆命题中哪些真命题能作为平行四边形的判定定理？

【设计解析】问题3引导学生结合图形回顾平行四边形的性质.问题4引导学生从已知的平行四边形性质命题中提出逆命题，并对提出的逆命题进行分类排序整理.问题5引导学生猜想命题的真假，若学生认为是真命题，尝试证明；若认为是假命题，尝试举反例.这样的问题设计让学生体会到不仅可以从图形性质与判定互逆的角度提出问题，而且让学生感到问题的探索过程是水到渠成的.

二、从学科逻辑的推理角度设计问题

基于学科逻辑，从类比与演绎两个角度去设计问题，既让问题的产生具有自然性，又让学生的思考具有导向性.

（一）从类比的角度

从类比推理的角度设计问题是指当两个或两类几何研究对象如果有部分属性相同时，设计某些问题探究两个或两类几何研究对象的其他属性是否也相同.“类比”是从特殊到一般的问题设计，旨在引导学生在探索命题适用范围从小到大的推理过程中有新的发现.

案例3：相似三角形的判定

问题6：两个三角形全等的判定方法有哪些？

问题7：请你尝试类比两个三角形全等的判定方法，提出两个三角形相似的判定方法有哪些？

【设计解析】问题6的回顾是让学生在探究相似三角形的判定时找到新知识生长的固着点，让新知识的发现有源可溯.问题7旨在引导学生思考全等三角形是相似三角形的特殊情况.在此基础上研究相似三角形，是特殊到一般的推理过程，从“类比推理”的角度来设计相似三角形的判定问题，这样的问题设计符合学科内部发展的逻辑顺序.

（二）从演绎的角度

从演绎推理的角度设计问题实际上是引导学生在从一般到特殊的推理过程中自然发现问题，在探究命题的适用范围从大到小的推理过程中有新的数学发现，积累数学演绎思考的经验.

案例4：等腰三角形性质的研究（等腰三角形“三线合一”定理的探究）

问题8：轴对称图形的性质是什么？

问题9：如图3，有一张等腰三角形纸片，AB=AC，请你折一折，你发现△ABC的对称轴是什么，并从对称的角度说出线段的数量关系、位置关系以及与角的数量关系.

图3

图4

问题10：如图4，已知在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD所在的直线是对称轴.从对称性的角度你可以发现△ABC有什么性质？

【设计解析】问题8先让学生回顾一般对称图形性质的目的是提供演绎推理的先行组织者.问题9引导学生发现等腰三角形的两底角顶点实际上是一对对称点，从一般对称图形的角度去探索线段与角的数量关系.问题10自然地从一般对称图形的性质得到等腰三角形“三线合一”定理，从一般到特殊演绎的角度设计问题，发现结论.

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三、从知识结构的关联角度设计问题

基于知识的整体性与关联性，从定理扩展、数形结合、正反联系的角度设计问题，有利于学生形成稳定的认知结构.

（一）从定理扩展的角度

几何定理的学习，不仅要关注定理的形成与应用过程，而且要探索使定理成立的条件减弱或加强后有何新的发现，这就是从定理扩展的角度设计问题的内涵.其价值在于，使学生在学习定理之后会用联系的观点思考定理成立的条件，从系统整体的角度来进一步认识定理的内涵与外延.

案例5：勾股定理的教学

问题11：如图5，已知△ABC中，若∠C=Rt∠，则AC2+BC2=AB2.如图6，若△ABC是锐角三角形（∠C是最大角），则AC2+BC2与AB2有什么数量关系？

图5

图6

问题12：如图7，若△ABC是钝角三角形（∠C是钝角），则AC2+BC2与AB2有什么数量关系？

图7

【设计解析】学生在学习了直角三角形中两直角边（较小边）的平方和等于斜边（最长边）的平方之后，问题11的设计旨在引导探索锐角三角形较小边的平方和与最长边的平方有何数量关系.在锐角三角形三边关系探究的基础上，问题12的设计自然让学生联想与探究钝角三角形三边的关系.三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直角三角形有勾股定理，从联系的角度看，勾股定理扩展到其他类型的三角形一定会有新的结论.

（二）从数形结合的角度

数与形是同一数学知识不同侧面的知识表征，数与形具有深刻的内在统一性.在学习“数”时要联想到形的直观，在学习“形”时需要借助数的入微刻画.一些几何定理不仅反映图形的性质，而且蕴含着图形所反映的数量关系的特征，在问题设计时要有意识地把它揭示出来.

案例6：三角形相似的应用

问题13：如图8，点C是半圆O上的任一点（不与A、B重合），过点C作CD垂直于AB，试说明CD与AD、BD的数量关系，结合图形你能说明式子的几何意义吗？

图8

图9

【设计解析】问题13从数与形的角度来设计旨在引导学生发现点C在变化过程中可以用数的关系来刻画，以发现不变的数量模型.即学生在得到CD2=AD⋅BD之后，发现线段OC≥CD,即，解释了算术平均数不小于几何平均数的数学模型.

（三）从正反联系的角度

从联系的角度来考察几何的学习，我们不仅要引导学生正向思考，也要启发他们逆向思维.那么，问题的设计则不仅要引导学生从正面探索结论，也要引导他们从反面认识命题.所以，在学生学习几何原命题之后，教师适切地设计逆命题的探究问题，则可以加强知识间的联系，优化学生原有的认知结构.

案例7：几何反例的构造

问题14：请说出命题“平行四边形的一组对边平行一组对角相等”的逆命题，并请你判断逆命题的真假，若命题为真，请证明；若命题为假，请举出反例.

【设计解析】问题14的设计意图是让学生加强对命题正反的认识与联系.如图9，教师引导学生任意作一等边△ABC，在底边BC上取一点D，使得BD＞DC，连接AD，由点D作∠1=∠2，截取DE=AC，连接AE，可得四边形ABDE，易知∠B=∠E，又DE=AC=AB，四边形ABDE满足已给条件，但AE=DC＜BD，所以四边形ABDE不是平行四边形.