一般三次方程的代数解

马纪英，王 宏，王 潮

（石家庄邮电职业技术学院，河北石家庄 050021）

在代数发展历程中，早期代数历史其实就是方程的历史。早在古巴比伦时期（诺伊格鲍尔《楔形文字数学课本》）、古埃及时期（莱因德纸草书），以及稍近时期的丢番图、欧几里得、阿基米德、花拉子米等数学家都对二次方程，甚至特定类型的三次方程进行了研究和求解。中世纪后，科学再次复苏，方程的求解再次引起人们的重视，经过几代数学家的努力，特别是费罗、菲奥利、塔塔利亚、卡尔达诺、费拉里等几人之间的恩恩怨怨，后卡尔达诺于1545年出版了《大衍术》一书给出了一般三次方程和四次方程的代数解。

1 二次方程的代数解

因为一般二次方程也可以写成，故不妨设一般二次方程为

它有两个解，分别是

我们知道是判别式。当时，上面的根为两个不相等的实根；当时，上面的根为两个相等的实根；当时，上面的根为两个不相等的复根。

2 一般三次方程

不妨设一般的三次方程为

我们可以先对一般的三次方程做一个简单的代数变换消去项，

令，一般三次方程化为消去项的不完全三次方程，下面我们只需考虑不完全三次方程。

3 不完全三次方程的变形

求解不完全三次方程。

令，方程变为

于是，满足：

由②式可得，代入①式可得，这是一个关于的二次方程，根据二次方程的一般解可以得到

同样，如果令代入，可得到，解这个方程可以得到

根据①式可知，和共有两组解，不妨设

4 不完全三次方程的代数解

5 三次方程根的分析

直观来看，前述三个根似乎第一个是实数，第二个和第三个是复数。其实不然，三个根都是建立在和的基础之上的，问题是本身可能就是复数。

和都包含的平方根，而这个数有可能是负的。如果它是负的，和就是复数；如果它是正的，和就是实数。把称为不完全三次方程的判别式，可得以下三个根的实际情况。

6 小结

对于一般的三次方程来说，不同于数值解，代数解的意思是如下形式的解[用表示的某个“代数”表达式]，其中“代数”的意思是“只包含加法、减法、乘法、除法和乘方、开方”。当判别式为负时，也就是三次根号下的数为复数，这时人们不得不去寻找一个复数的立方根，这不是一件容易的事，所以三次方程的代数解尽管在理论上非常令人满意，但不是特别实用。另外，四次方程代数解的求解方法总体上来说是降阶法，简化方程、降低阶次，但所得的根的表达式相当复杂，说起来要占用大量篇幅。五次及其以上的一般方程就没有代数解了。