三渠道回收模式下闭环供应链混沌控制研究

董 海，徐德珉

(沈阳大学 a.应用技术学院；b.机械工程学院，沈阳 110044)

0 引言

随着经济的持续发展，市场上废旧产品数量也随之增加，吸引了企业和政府的关注。大量的废旧产品不仅对环境造成巨大的污染，也是对资源的过度浪费，所以针对废旧产品进行有效的再生利用成为最值得关注的问题。目前大多数城市已经制定了相关政策、法律和制度，目的是提高原材料的重复使用率，越来越多的企业也将闭环供应链管理引入了公司战略管理中。

近几年，国内外学者对闭环供应链已经有了大量的研究，主要集中在新产品和废旧产品的价格、回收渠道和利润共享契约等方面。许多学者运用博弈论和运筹学的相关观点对闭环供应链进行建模。Maiti和Giri[1]研究了在零售商价格领导和产品质量需求下的闭环供应链问题，认为需求量与新产品和再制品的质量有关，并研究基于不同渠道能力下，纳什博弈和斯坦伯格博弈模型对闭环供应链的影响。Zu Jun[2]等构建了由制造商、零售商和两个回收商组成的三级闭环供应链，研究了不同合作模式下对决策者的利润所产生的影响。王晶等[3]研究了在不可退货和供货能力有限下供应链模型的复杂动力学行为。Junling Zhang等[4]研究了不同决策模式下的四寡头博弈模型，并对其进行混沌控制。陈彬等[5]构建了由制造商和两个回收商组成的动态决策模型，通过数值仿真、分岔图、Lyapunov指数动态变化图及吸引子研究混沌特征，最后采用参数调整和系统变量的状态反馈控制策略对混沌系统进行控制。Junhai Ma等[6]构建了由制造商和零售商组成的双渠道闭环供应链系统，根据需求的不确定性，建立两种情景下的动态博弈模型并分析模型的动态行为，验证了制造商在非对称渠道能力下的利润大于对称渠道能力下的利润，供应链整体利润随着内部竞争的增加而提升。高飞等[7]构建了由生产商、分销商、零售商组成的三维供应链分数阶差分博弈模型(SCFDGM)，利用分数阶差分的相关理论对SCFDGM复杂动力学行为进行数值分析。Alper等[8]提出了基于数学模型的供应链管理系统的同步与控制，构建由生产商、分销商和顾客组成的供应链结构模型，并分析该模型的混沌同步与控制。Jianwei Chang等[9]研究了由一个制造商和一个零售商组成的再制品供应链系统，该系统被认为一种斯坦格伯模型的正向供应链的耦合动力学。通过分析，系统出现了分叉和混沌的动态现象。Daoming Dai等[10]构建了在政府干预下多渠道闭环供应链模型，对平衡点稳定性的存在条件进行分析，对延迟因素的影响、库存价格的调整和回收品的回收率等进行混沌分析。Miao Yu等[11]通过博弈论、混沌动态理论和复杂性分析研究了闭环供应链的价格策略和回收渠道，构建了基于制造商和回收商双渠道回收模式下的闭环供应链模型，验证了制造商的回收价格调整速率或回收商的调整速率都会导致闭环供应链系统进入混沌状态，通过引入合适的参数对混沌状态进行有效的控制。J. Ma等[12]考虑在产品回收模式下，构建由一个制造商和一个零售商组成的闭环供应链，通过分叉、混沌和初值敏感性分析研究闭环供应链动态非线性博弈模型的复杂性。D. Vlachos等[13]建立闭环供应链再制造动态容量规划的系统动力学模型，由于产品数量的不断增加，容量规划成为战略性问题，因此对于逆向供应链而言，复杂性变得十分重要。Lu等[14]引入服务和顾客转换的理念，构建了具有重复交易的两阶段供应链动态决策模型。研究表明，为客户提供更多服务方面的制造商占据比其对手更大的市场。M. Huang等[15]构建基于一个零售商和一个回收商的双循环渠道闭环供应链策略分析模型，基于博弈论从分散和集中渠道方案的定价决策和回收策略的角度描述供应链绩效，并将其与CLSC的现有最佳策略与单一回收渠道(零售商或第三方)进行比较。

综上所述，针对闭环供应链系统进行复杂性及混沌分析成为目前学者所研究的内容之一，研究主要集中于产品价格和产量博弈的过程，结合Nash均衡点分析问题。本文构建了由一个制造商、两个回收商和消费者组成的三级闭环供应链模型，在上述内容的研究基础上，将消费者的不确定性需求考虑到供应链市场中，对其进行建模。同时采用博弈论与混沌控制理论对闭环供应链市场的复杂动态演化过程进行分析和控制。

1 模型建立及分析

1.1 模型描述

为了贴合市场的实际情况，本文构建的闭环供应链模型将消费者的不确定需求因素以及回收竞争性考虑在该模型中。模型中，制造商负责生产新产品和废旧产品的回收再制造，两个回收商负责回收废旧产品，并处于双寡头垄断状态，该模型如图1所示。

针对模型做出以下几点假设：

1)闭环供应链模型中所有决策主体均为独立的决策者，由于市场条件的局限性，决策者不能充分了解其它决策者的行为，所以只能进行有限理性决策；

2)回收产品的数量与自身价格有关，不考虑环境因素、服务质量和消费水平等对回收品数量带来的影响；

3)制造商回收和再制造品的单位成本低于制造新产品的单位成本，优先选择再制造产品满足市场需求；

4)假设回收能力和再制造能力都是无限制，回收的所有废旧产品都可以进行再制造。

图1 闭环供应链模型回收模式Fig.1 Recycling method of closed-loop supply chain model

1.2 模型建立及说明

制造商和两个回收商的回收品数量分别为Qm、Qt1、Qt2，表达式为

Qt1=a1+bt1-dt2

(1)

Qt2=a2+bt2-dt1

(2)

Qm=a3+bm-d(t1+t2)

(3)

其中，ak>0，(k=1，2，3)表示消费者自愿无偿提供的废旧品数量，即消费者的环保意识；b表示消费者的回收价格敏感系数；d表示回收价格竞争系数；m表示制造商分别从消费者和回收商中回收的废旧产品的单位回收价格，即制造商的决策变量；t1、t2分别是两个回收商从消费者中回收的废旧产品的单位回收价格，即回收商的决策变量。

制造商和回收商回收废旧产品的总数量记作Q，其公式为

Q=Qm+Qt1+Qt2

(4)

相比于新产品，消费者对再制造品的态度存在不确定性和限制性，因此引入参数h，能够反映在t时间段中消费者愿意购买的再制品数量。

证明：为了验证h在某一时间段中服从均匀分布，对周一至周五消费者愿意购买再制品数量的数据进行调研分析。

根据市场调研，周一至周五消费者愿意购买再制品数量的数据如表1。

表1 消费者自愿购买再制品数量

图2 K-S检验Fig.2 The K-S test

通过SPSS对数据进行K-S检验，判断数据是否服从均匀分布，其中：

H0：服从均匀分布；H1：不服从均匀分布；显著性水平默认0.05。

数据分析显示：显著性水平值0.573明显大于0.05，说明发生原假设H0的概率很大，因此接受原假设H0，拒绝原假设H1，认为该数据服从均匀分布。因此假设参数h在区间[x-x1,x+x1]中服从均匀分布，它能够反映在t时间段中消费者愿意购买的再制品数量，其分布函数记为F(h)，概率密度函数为

f(h)=(1/2)x1

(5)

当Q>h时，只有h数量的产品出售给消费者，剩余部分的产品将被浪费；当Q≤h时，所有的再制品都能够出售给消费者。但是当再制品不能够满足消费者需求时，消费者不得不选择购买新产品或者放弃购买行为，从而给制造商带来一定的损失，w表示制造商的单位损失成本。

制造商和两个回收商的利润模型分别为

(6)

Pt1=(m-t1-i)·Qt1

(7)

Pt2=(m-t2-i)·Qt2

(8)

其中,i表示制造商或回收商从消费者回收废旧产品的单位成本；e表示制造商使用再制造品代替新产品所产生的节约成本。

制造商的期望利润函数为E(Pm)，其公式为

(9)

综上分析，制造商的决策变量为回收价格m，回收商的决策变量分别为t1，t2，由此得出边际利润函数分别为

(10)

(11)

(12)

由于市场具有复杂性，制造商和两个回收商不能完全预测市场的真实信息和其它决策者的决策信息。因此市场中的决策者都基于有限理性模型，在该模型下，决策者在t+1时刻的决策函数为

(13)

(14)

(15)

其中,vk>0，(k=1，2，3)表示制造商和两个回收商的调整速率。

将公式(10)～(12)分别带入公式(13)～(15)中，能够得到该模型的三维离散动态方程为

(16)

t1(t+1)=t1(t)+v2t1(t)·(dt2-bt1-a1-b(i-m+t1))

(17)

t2(t+1)=t2(t)+v3t2(t)·(dt1-bt2-a2-b(i-m+t2))

(18)

2 数值仿真

本文使用MATLAB软件对模型进行数值仿真和动力特征的分析。相关参数设置为：a1=0.3，a2=0.6，a3=1，b=1，d=0.5，i=0.1，e=6，w=1，x=3，x1=1。本文研究基于回收价格敏感系数b和回收价格竞争价格d为固定值时，制造商和双回收商对系统的动力学影响，运用MATLAB绘制该模型的分岔图、最大Lyapunov指数图和初值敏感性分析图分析模型的混沌状态。

表2 相关参数设置

2.1 混沌与分岔现象

分岔图是一种能够体现系统随着参数变化而形成动态特征的方法。通过参数的不同设置可以得到相应的分岔图，参数设置如表1所示。

从图3中能够看出，当v1从0增加至0.38，m，t1处于稳定增长状态，t2稳定在0.1，然后出现分岔现象，系统处于混沌状态，即随着v1的增长，回收价格m，t1，t2的不确定性也随之增加，因此导致企业将需要获得更多信息进行相应决策。图4和图5分别为回收价格m，t1，t2随着v2，v3的变化，系统呈现的稳定与混沌状态，所表示的含义与v1变化时的含义相似。

图3 m,t1,t2关于v1分岔图Fig.3 m,t1,t2bifurcation diagram of m

图4 m,t1,t2关于v2分岔图Fig.4 m,t1,t2bifurcation diagram of m

图5 m,t1,t2关于v3分岔图Fig.5 m,t1, t2bifurcation diagram of m

综上分析，调整速率vk的变化对于决策变量的稳定性具有很大的影响，不仅使得决策变量的不确定性增加，市场情形变得复杂，决策者决策将变得更加困难，而且决策者的利润也将受到影响。

2.2 最大Lyapunov指数

当调整系统中决策变量的速率时，最大Lyapunov指数将发生动态变化，因此可以通过最大Lyapunov指数的动态变化分析系统的动态特征。若最大Lyapunov指数小于0，则系统处于稳定状态；最大Lyapunov指数等于0，则系统处于周期运动；最大Lyapunov指数大于0，则系统处于混沌状态。

图6a显示当v2=0.2，v3=0.3，v1在0-0.8之间变化时，最大Lyapunov指数变化情况，在0-0.38之间，最大Lyapunov指数小于0，系统处于稳定状态；在0.38-0.8之间，最大Lyapunov指数大于0，系统进入混沌状态，与分岔图2-4出现混沌状态相似。图6b和c显示为v2和v3变化时的最大Lyapunov指数图，表述含义与图11相似，不再赘述。

2.3 初值敏感分析

取v1=0.2，v2=0.5，v3=0.8，此时系统处于稳定状态，改变决策变量m，t1，t2的初值，使初值相差0.001，即原始初值为m=0.2，t1=0.5，t2=0.8，改变后初值为m=0.2，t1=0.5，t2=0.800 1，得到有关决策变量m，t1，t2的初值敏感分析图。

图6 v1,v2,v3最大Lyapunov指数图Fig.6 v1, v2, v3maximum Lyapunov index chart

图7 m,t1,t2初值敏感分析图Fig.7 m,t1,t2initial value sensitivity analysis diagram

如图7所示，从图中可以看出，大约经过20次左右的迭代后，系统的状态产生了明显的差异。因此混沌系统对于初值具有强烈的敏感性，如同蝴蝶效应，初值发生很小的差异就能引起巨大的变化。由此可以得出，决策者应该谨慎地选择决策变量的初值，否则可能会产生巨大的损失。

3 混沌控制

通过数值分析能够得出，混沌现象具有不稳定性和敏感性，使得制造商和回收商的决策行为变得复杂化，市场变得无序化，相关决策者的利润受到影响。因此在混沌发生前采取措施，对系统进行控制，使混沌状态得到改善或消除。本文将采用状态反馈控制和参数调整的方法对混沌系统进行控制，得到受控系统方程如下所示：

将公式(16)～(18)改写为公式(19)～(21)：

m(t+1)=f1(m(t),t1(t),t2(t))

(19)

t1(t+1)=f2(m(t),t1(t),t2(t))

(20)

t2(t+1)=f3(m(t),t1(t),t2(t))

(21)

引入负反馈调节参数n，并设置反馈控制的迭代周期为1，则系统记为公式(22)～(24)，其中0

m(t+1)=(1-n)f1(m(t),t1(t),t2(t))+nm(t)

(22)

t1(t+1)=(1-n)f2(m(t),t1(t),t2(t))+nt1(t)

(23)

t2(t+1)=(1-n)f3(m(t),t1(t),t2(t))+nt2(t)

(24)

通过前文数值分析，得出当v1=0.55，v2=1.25，v3=1.55时，系统处于混沌状态，引入参数n后，决策变量的变化情况如图8。从图中能够看出，当n=0时，系统处于混沌状态，随着n逐渐增加，系统进入周期阶段，最终进入稳定状态，混沌状态得到有效的控制。

上述研究的闭环供应链市场十分复杂，决策变量的改变直接影响市场的稳定性。通过混沌控制，有利于市场管理，提高市场稳定性，同时易于决策，获取更大利润。

图8 m,t1,t2混沌控制图Fig.8 m, t1, t2 chaotic control diagram

4 结论

本文采用混沌理论研究了由制造商和两个回收商组成的三渠道回收模式下闭环供应链混沌控制问题。为了贴合实际情况，考虑顾客对于再制品需求的不确定性，引入参数h反映顾客在某一时间段内购买再制品的数量，并通过K-S检验方法验证h服从均匀分布，并建立了关于决策变量m，t1，t2的动态模型。利用MATLAB分别对模型的分岔图、最大Lyapunov指数图、初值敏感分析图进行数值仿真，得出以下结论：

1)改变制造商和两个回收商调整速率vi，可导致系统进入混沌状态，增加决策变量的不确定性，使得决策者的决策行为变得更加困难。

2)混沌系统对于决策变量m，t1，t2初值具有极其敏感性，决策者必须对市场进行充分的理性分析，谨慎地选择合理的决策策略，可以有效规避损失，同时获取更大利润；

3)引入负反馈调节参数n并设置反馈迭代周期为1，可以有效地改善或消除系统混沌状态，通过制造商和各回收商彼此合作，有益于对供应链闭环系统的动态管理，使得混沌系统趋于稳定。